极坐标练习题(含详细答案).docx
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极坐标练习题(含详细答案).docx
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1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为( )
A.25x2+9y2=1B.9x2+25y2=1C.25x+9y=1D.+=1
2.极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为( )
A.(x+)2+y2= B.x2+(y+)2=
C.x2+(y-)2= D.(x-)2+y2=
答案 D
解析 由ρ=cosθ,得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x.选D.
3.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为( )
A.一条射线和一个圆 B.两条直线
C.一条直线和一个圆 D.一个圆
答案 C
4.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.(1,) B.(1,-)
C.(1,0) D.(1,π)
答案 B
解析 由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,-),故应选B.
5.设点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标为( )
A.(2,,3) B.(2,,3)
C.(2,,3) D.(2,,3)
答案 C
6.(2013·安徽)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1
答案 B
解析 由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.
7.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A.ρ=cosθ B.ρ=sinθ
C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1
答案 C
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为x=1,所以其极坐标方程为ρcosθ=1,故选C.
8.(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,),则|CP|=________.
答案 2
解析 由圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,2),所以|CP|=2.
9.(2014·唐山一中)在极坐标系中,点P(2,-)到直线l:
ρsin(θ-)=1的距离是________.
答案 +1
解析 依题意知,点P(,-1),直线l为x-y+2=0,则点P到直线l的距离为+1.
10.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
答案 x2+y2-4x-2y=0
解析 由⇒cosθ=,sinθ=,ρ2=x2+y2,代入ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ=+⇒ρ2=2y+4x⇒x2+y2-4x-2y=0.
11.在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
答案 4
解析 直线ρsin(θ+)=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得
2=2=4.
12.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是________,它与方程θ=(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________.
答案 (1,0) (,)
解析 ρ=2cosθ表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆,故圆心的极坐标为(1,0).
当θ=时,ρ=,故交点的极坐标为(,).
13.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为________.
答案 (,)
解析 ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1.
联立方程,得解得
即两曲线的交点为(-1,1).又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为(,).
14.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0被曲线C:
ρ=2所截得弦的中点的极坐标为________.
答案
解析 直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0化为直角坐标方程为x-y+2=0,曲线C:
ρ=2化为直角坐标方程为x2+y2=4.如图,直线被圆截得弦AB,AB中点为M,则|OA|=2,|OB|=2,从而|OM|=,∠MOx=.
∴点M的极坐标为.
15.已知点M的极坐标为(6,),则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________.
答案 (-3,-3)
解析 ∵点M的极坐标为(6,),
∴x=6cos=6cos=6×=3,
y=6sin=6sin(-)=-6×=-3.
∴点M的直角坐标为(3,-3).
∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).
16.在极坐标系中,点P(2,)到直线l:
3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为________.
答案 1
解析 在相应直角坐标系中,P(0,-2),直线l方程为3x-4y-3=0,所以P到l的距离d==1.
17.从极点O作直线与另一直线l:
ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
答案
(1)ρ=3cosθ
(2)1
解析
(1)设动点P的坐标为(ρ,θ),
M的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.
∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.
(2)由
(1)知P的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆,易得|RP|的最小值为1.
18.在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin(θ-)=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
答案
(1)x2+y2-x-y=0,x-y+1=0
(2)(1,)
解析
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.
直线l:
ρsin(θ-)=,即ρsinθ-ρcosθ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的极坐标为(1,).
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