极坐标与参数方程综合运用题型(一).docx
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极坐标与参数方程综合运用题型(一).docx
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极坐标与参数方程综合运用题型
(一)
【题型分析】
题型一圆上的点到直线距离的最值
【例1】已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值.
解:
(Ⅰ)
即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),∴x2+y2﹣2x﹣2y=0,故C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ)∵曲线C1的参数方程为,∴C1的直角坐标方程为,
由(Ⅰ)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离,
∴动点M到曲线C1的距离的最大值为
【变式实践1】
1.已知曲线C1:
,曲线:
(t为参数)
(I)化C1为直角坐标方程,化C2为普通方程;
(II)若M为曲线C2与x轴的交点,N为曲线C1上一动点,求|MN|的最大值.
解:
(I)曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ
所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0,因为曲线C2的参数方程是,
消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0
(II)因为曲线C2为直线,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0)
曲线C1为圆,其圆心坐标为C1(0,1),半径r=1,则
∴,|MN|的最大值为
2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线的极坐标方程为:
,曲线C的参数方程为:
(α为参数).
(I)写出直线的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的距离的最大值.
解:
(1)∵直线l的极坐标方程为:
,
∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.
(2)根据曲线C的参数方程为:
(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:
d=,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.
3.已知在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.
(1)求圆心C的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
解:
(1)由圆C的极坐标方程ρ=2cos(θ+),化为,
展开为ρ2=,化为x2+y2=.
平方为=1,∴圆心为.
(2)由直线l上的点向圆C引切线长=
=≥5,∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5.
题型二利用三角函数求最值
【例2】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,
曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
解:
(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标得P(0,4),
∵P(0,4)满足方程x-y+4=0,∴点P在直线l上.
(2)因为点Q是曲线C上的点,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),所以点Q到直线l的距离d==(α∈R)则当cos=-1时,d取得最小值.
【变式实践2】
1.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为:
(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:
.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.
解:
(1)∵ρ=cosθ,∴x2+y2=x,即(x-)2+y2=.
(2)设P(2cosα,sinα),易知C2(,0),∴|PC2|=== ,
当cosα=时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=,∴|PQ|min=.
2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为,直线l的极坐标方程为.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线距离的最小值.
解:
(1)C1:
x2+2y2=2,l:
y+x=4.
(2)设Q(cosθ,sinθ),则点Q到直线l的距离
d==≥=,
当且仅当θ+=2kπ+(k∈Z),即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.
3.以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(α是参数),直线l的极坐标方程为ρcos=2.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)设点P为曲线C上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
解:
(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos=2,∴ρ=2,
∴x-y=2,即直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.
由得+=1,即曲线C的普通方程为+=1.
(2)设点P(2cosα,sinα),则点P到直线l的距离
d==,其中tanφ=.
当cos(α+φ)=-1时,dmax=,即点P到直线l的距离的最大值为.
4.已知曲线C:
+=1,直线l:
(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
[解]
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos.
(1)求直线l被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
解:
(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去t,可得3x+4y+1=0.
由于ρ=cos=,
即有ρ2=ρcosθ-ρsinθ,则有x2+y2-x+y=0,其圆心为,半径为r=,
圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=.
(2)可设圆的参数方程为(θ为参数),即M,
则x+y=cosθ+sinθ=sin,由于θ∈R,则x+y的最大值为1.
6.(2015·新乡许昌平顶山第二次调研)已知直线l:
(t为参数),曲线C1:
(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
解:
(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1.
联立方程,解得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=1.
(2)C2的参数方程为(θ为参数).故点P的坐标是.
从而点P到直线l的距离d==,
当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为(-1)
题型三根据最值求点坐标
【例3】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P坐标.
解:
(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),
则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4,
即有ρsinθcos+ρcosθsin=4,即为直线x+y﹣8=0;
(2)设P(cosα,sinα),则P到直线的距离为d,
则d==,则当sin()=1,此时α=2k,k为整数,P的坐标为(,),距离的最小值为=3.
【变式实践3】
1.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为.
(1)写出⊙C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解:
(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).
2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线:
(为参数,)的距离最短,并求出点的直角坐标.
(Ⅰ)解:
由,,可得,因为,,所以曲线的普通方程为(或)
(Ⅱ)解法一:
因为直线的参数方程为(为参数,),
消去得.因为曲线是以为圆心,1为半径的圆,
因为点在曲线上,所以可设点.
所以点到直线的距离为.
因为,所以当时,.此时,所以点的坐标为.
解法二:
因为直线的参数方程为(为参数,),
消去得直线的普通方程为.
因为曲线:
是以为圆心,1为半径的圆,
设点,且点到直线:
的距离最短,
所以曲线在点处的切线与直线:
平行.
即直线与的斜率的乘积等于,即.因为,解得或.所以点的坐标为或.
由于点到直线的距离最短,所以点的坐标为.
3.已知曲线C1:
,(α为参数),C2:
,(θ为参数)
(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为α=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:
,(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标.
解:
(Ⅰ)据题,由曲线C1:
,(α为参数),得(x+4)2+(y﹣3)2=1,
它表示一个以(﹣4,3)为圆心,以1为半径的圆,
由C2:
,(θ为参数)得,
它表示一个中心为坐标原点,焦点在轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆,
(Ⅱ)当时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ),
由直线C3:
,(t为参数),得x﹣2y﹣7=0,它表示一条直线,M到该直线的距离为:
d==|5cos(θ+Φ)﹣13|,(其中sinΦ=,cosΦ=),
当cos(θ+Φ)=1时,d取最小值,
从而,当sinΦ=﹣,cosΦ=,时,d有最小值,此时,点Q(,﹣).
【强化训练】
1.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)若α∈[0,),直线的参数方程为(t为参数),直线交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.
解:
(Ⅰ)∵C(,)的直角坐标为(1,1),∴圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ(cosθ+sinθ)﹣1=0
(Ⅱ)将代入圆C的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=3,
得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,即t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0.
∴t1+t2=﹣2(cosα+sinα),t1•t2=﹣1.
∴|AB|=|t1﹣t2|==2.
∵α∈[0,),∴2α∈[0,),∴2≤|AB|<2.即弦长|AB|的取值范围是[2,2)
2.在以直角坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线C1的方程是ρ=1,将C1向上平移1个单位得到曲线C2.(Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M,N,切点为T,求|TM|•|TN|的取值范围.
解:
(I)曲线C1的方程是ρ=1,即ρ2=1,化为x2+y2=1,
将C1向上平移1个单位得到曲线C2:
x2+(y﹣1)2=1,展开为x2
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