松江区2016年高三数学文科一模试卷(含答案).doc
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松江区2015学年度第一学期高三期末考试
数学(文科)试卷
(满分150分,完卷时间120分钟)2016.1
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知全集,是的子集,满足,,则集合=▲.
2.若复数(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取值范围是▲.
3.行列式的值是▲.
4.若幂函数的图像过点,则=▲.
5.若等比数列满足,且公比,则▲.
6.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、则有▲.
7.如图所示的程序框图,输出的结果是▲.
第7题图
是
否
开始
输出
结束
8.将函数图像上的所有点向右平移个单位,再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),则所得图像的函数解析式为▲.
9.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为▲(结果用数值表示).
10.在中,内角、、所对的边分别是、、.已知,,则=▲.
11.若展开式的第4项为,则▲.
12.已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线与相交于点,与抛物线的一个交点为.若,则▲.
13.已知正六边形内接于圆,点为圆上一点,向量与的夹角为(),若将从小到大重新排列后恰好组成等差数列,则该等差数列的第3项为▲.
14.已知函数,对任意的,恒有成立,且当时,.则方程在区间(其中)上所有根的和为▲.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为
16.设,则“”是“”的
充分而不必要条件必要而不充分条件
充要条件既不充分也不必要条件
17.在正方体中,、分别是棱、的中点,、分别是线段与上的点,则与平面平行的直线有
0条1条2条无数条
18.在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2.第一次“H扩展”后得到1,3,2;第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2.那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为
10231025513511
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分
如图,在三棱锥中,平面,,,,分别是的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若异面直线与所成的角为,求的值.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分
已知函数.
(1)当时,求函数f(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的图像与直线y=1相邻两个交点间的最短距离.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
在一次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含以下三个方面:
①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟米,每分钟用氧量为升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.
(1)将表示为的函数;
(1)若,求总用氧量的取值范围.
22.(本题满分16分,第1小题3分,第2小题中5分、第2小题8分)
在平面直角坐标系中,为坐标原点,C、D两点的坐标为,曲线上的动点P满足.又曲线上的点A、B满足.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:
原点到直线AB的距离为定值.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于数列,称(其中)为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,都有,则称数列为“趋稳数列”.
(1)若数列1,,2为“趋稳数列”,求的取值范围;
(2)已知等差数列的公差为,且,其前项和记为,试计算:
();
(3)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:
是“趋稳数列”.
松江区2015学年度第一学期高三期末考试
数学(文科)试卷参考答案2016.1
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1..2..3..4..5..
6..7..8..9..10..
11..12..13..14..
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.A.16.B.17.D.18.B.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分
解:
(1)由已知得,……………………2分
所以,体积……………………5分
(2)取中点,连接,则,
所以就 是异面直线与所成的角.……………………8分
由已知,,
.……………………10分
在中,,
所以,.……………………12分
20.(满分14分)本题有3小题,第1小题7分,第2小题3分,第,3小题4分.
解:
(1)……………………4分
当时,,所以的值域为……7分
(2)∴,……………………9分
或,……………………12分
∴当时,两交点的最短距离为……………………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
解:
(1)下潜所需时间为分钟;返回所需时间为分钟…………2分
∴…………5分
…………6分
(2),当且仅当,即时取等号.…8分
因为,所以在上单调递减,在上单调递增
所以时,取最小值7…………11分
又时,;时,,…………13分
所以的取值范围是.…………14分
22.(本题满分16分,第1小题3分,第2小题中5分、第2小题8分)
解
(1)由,知,曲线E是以C、D为焦点,长轴的椭圆,………………1分
设其方程为,则有,
∴曲线E的方程为………………3分
(2)设直线OA的方程为,则直线OB的方程为
由则得,解得.………………4分
同理,由则解得.………………5分
由知,
即………………6分
解得,因点A在第一象限,故,………………7分
此时点A的坐标为………………8分
(3)设,,
当直线AB平行于坐标轴时,由知A、B两点之一为与椭圆的交点,
由解得此时原点到直线AB的距离为…10分
当直线AB不平行于坐标轴时,设直线AB的方程,
由得………………12分
由得
即
因………………14分
代入得即……15分
原点到直线AB的距离………………16分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
解:
(1)由题意,即………………2分
解得………………4分
(2)
………………5分
∵∴,………………6分
∴………………7分
∴
………………8分
………………9分
…………………10分
(3)由已知,设,因且,故对任意的,都有…………………11分
∴对
,…………………13分
因∴
∴,,,,,
∴…………………15分
∴
∴
∴即对任意的,都有,故是“趋稳数列”………18分
高三数学(文)第8页共4页
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