高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 122 绝对值不等式的解法学案 北师大版选修45Word文件下载.docx
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(2)√ (3)×
教材整理2 |x-a|+|x-b|≥c与|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
1.利用绝对值不等式的几何意义求解.
2.利用零点分段法求解.
3.构造函数,利用函数的图象求解.
填空:
(1)|x-4|+|x-2|>
1的解集为________.
(2)若f(x)=|x-a|+|x+b|的最小值为3,当a<
f(x)恒成立时,a的取值范围是________.
(3)|x-3|>
|x+1|的解集为________.
【解析】
(1)∵|x-4|+|x-2|≥|4-2|=2>
1,
∴不等式的解集为R.
(2)由条件可知,当a<
f(x)恒成立时,a<
[f(x)]min,即a<
3.
(3)由原不等式得(x-3)2>
(x+1)2,整理得x<
1.
【答案】
(1)R
(2)a<
3 (3)(-∞,1)
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
|ax+b|≤c与|ax+b|≥c型不等式的解法
解下列不等式:
(1)1<
|x-2|≤3;
(2)|2x+5|>
7+x.
【精彩点拨】
(1)可利用公式转化为|ax+b|>
c(c>
0)或|ax+b|<
0)型不等式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.
【自主解答】
(1)法一:
原不等式等价于不等式组
解得-1≤x<
1或3<
x≤5,
所以原不等式的解集为{x|-1≤x<
x≤5}.
法二:
原不等式可转化为:
①
或②
由①得3<
x≤5,由②得-1≤x<
所以原不等式的解集是{x|-1≤x<
法三:
原不等式的解集就是1<
(x-2)2≤9的解集,
所以-1≤x<
x≤5.
(2)由不等式|2x+5|>
7+x,
可得2x+5>
7+x或2x+5<
-(7+x),
整理得x>
2或x<
-4.
所以原不等式的解集是{x|x<
-4或x>
2}.
1.形如a<
|f(x)|<
b(b>
a>
0)型不等式的简单解法是利用等价命题法,即a<
b(0<
a<
b)⇔a<
b或-b<
f(x)<
-a.
2.|f(x)|>
g(x)和|f(x)|<
g(x)型不等式的解法是将f(x)看做一个整体,g(x)看做一个常数,即可化为f(x)>
g(x)或f(x)<
-g(x)和-g(x)<
g(x)求解.
3.形如|f(x)|<
f(x),|f(x)|>
f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义,即|f(x)|>
f(x)⇔f(x)<
0,|f(x)|<
f(x)⇔x∈∅.
[再练一题]
1.解不等式|x2-x+2|>x2-3x-4.
【导学号:
94910007】
【解】 ∵x2-x+2=
2+
>0,
∴|x2-x+2|=x2-x+2.
原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4,
解得x>-3.
∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
|x-a|±
|x-b|≥c(≤c)型不等式的解法
解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【精彩点拨】 本题考查|x-a|+|x-b|≥c型含两个绝对值的不等式的解法,解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解,也可用零点分区间讨论法求解,或者用图象法,利用图形分析求解.
【自主解答】 法一:
如图所示,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1,到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.
∴-1-x+1-x=3,得x=-
.
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点距离和为3,B1对应数轴上的x,
∴x-1+x-(-1)=3.
∴x=
从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;
点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.
所以原不等式的解集是
∪
当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,
解得x≤-
当-1<
x<
1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,
即2≥3,不成立,无解.
当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3,所以x≥
综上所述,原不等式的解集为
将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即y=
作出函数的图象,如图所示:
函数的零点是-
,
从图象可知,当x≤-
或x≥
时,y≥0,
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
解得原不等式的解集为
这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法,解法一中关键是找到特殊点,解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,解法三则要准确画出函数图象,并准确找出零点.
2.解不等式|2x-1|<
|x|+1.
【解】 ①当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,与x<0矛盾,此时无解;
②当0≤x<
时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得x>0,
又∵0≤x<
,从而有0<x<
;
③当x≥
时,原不等式化为2x-1<x+1,∴x<2.
因此
≤x<2.
综合①②③知,原不等式的解集是{x|0<x<2}.
[探究共研型]
含参数的不等式
探究1 函数f(x)=|x-a|+|x-b|的最小值是什么?
当|a-b|>c时,不等式|x-a|+|x-b|>c的解集是什么?
【提示】 因为|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|.
∴当|a-b|>c时,不等式|x-a|+|x-b|>c的解集为R.
事实上,对于一切x∈R,有|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>c.
探究2 对于a≥f(x)在R上恒成立求a的取值范围时,如何转化求解?
对于a≤f(x)呢?
对于a>
f(x)的解集为∅,求a的取值范围时如何转化求解,对于a<
f(x)呢?
【提示】 a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max.
a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min.
f(x)解集为∅⇔a≤f(x)恒成立
f(x)解集为∅⇔a≥f(x)恒成立.
探究3 对于a≥f(x)有解求a的范围时,如何转化求解?
a≤f(x)有解呢?
【提示】 a≥f(x)有解⇔a≥[f(x)]min.
a≤f(x)有解⇔a≤[f(x)]max.
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在
(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
【精彩点拨】
(1)解f(x)≤3,由集合相等,求a.
(2)求y=f(x)+f(x+5)的最小值,确定m的范围.
【自主解答】
(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以
解得a=2.
(2)法一 由
(1)知a=2,此时f(x)=|x-2|,
设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,
于是g(x)=
利用g(x)的单调性,易知g(x)的最小值为5.
因此g(x)=f(x)+f(x+5)≥m对x∈R恒成立,
知实数m的取值范围是(-∞,5].
法二 当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|.
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立),得g(x)的最小值为5.
因此,若g(x)=f(x)+f(x+5)≥m恒成立,
应有实数m的取值范围是(-∞,5].
1.第
(2)问求解的关键是转化为求f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类讨论思想,利用函数的单调性;
法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件).
2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动向,解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
3.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅,求实数a的取值范围.
【解】 法一:
令y1=|x+2|+|x-1|,y2=a.
∴y1=
y1,y2的图象如图所示.由图可知,当a<
3时,
|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅.
|x+2|+|x-1|表示数轴上的点A(x)到B(-2)和C
(1)两点的距离之和,而|BC|=3,
所以A到B,C两点的距离之和的最小值为3.
即对一切x∈R,总有|x+2|+|x-1|≥3.
因为|x+2|+|x-1|≤a的解集为∅,
所以只需a<
3即可,
所以a的取值范围是a<
[构建·
体系]
1.不等式|x|·
(1-2x)>0的解集是( )
A.
B.(-∞,0)∪
C.
D.
【解析】 原不等式等价于
解得x<
且x≠0,
即x∈(-∞,0)∪
【答案】 B
2.不等式|x-2|>x-2的解集是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)
【解析】 原不等式同解于x-2<0,即x<2.
【答案】 A
3.已知集合A={x∈R||x-1|<
2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________.
【解析】 A={x∈R||x-1|<
2}={x∈R|-1<
3}.集合A中包含的整数有0,1,2,故A∩Z={0,1,2}.
【答案】 3
4.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为________.
94910008】
【解析】 由于||x-2|-1|≤1,即-1≤|x-2|-1≤1,
即|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,所以0≤x≤4.
【答案】 [0,4]
5.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解】
(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
因为a>
0,所以不等式组的解集为
由题设可得-
=-1,故a=2.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
学业分层测评(三)
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.不等式1≤|x-3|≤6的解集是( )
A.{x|-3≤x≤2或4≤x≤9}
B.{x|-3≤x≤9}
C.{x|-1≤x≤2}
D.{x|4≤x≤9}
【解析】 化为1≤x-3≤6或-6≤x-3≤-1,
即4≤x≤9或-3≤x≤2,故选A.
2.不等式
>
的解集是( )
A.{x|0<
2}B.{x|x<
0或x>
2}
C.{x|x<
0}D.{x|x>
【解析】 原不等式可化为
<
0,即x(x-2)>
0,
∴x>
0,解集为{x|x>
0}.
3.不等式1<|x+1|<3的解集为( )
94910009】
A.(0,2)B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0)D.(-4,-2)∪(0,2)
【解析】 由1<|x+1|<3,得
1<x+1<3或-3<x+1<-1,
∴0<x<2或-4<x<-2.
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).
【答案】 D
4.设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为( )
A.1,-1B.2,-2
C.1,-2D.2,-1
【解析】 |x|+|y|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示.
设z=x+2y,作l0:
x+2y=0,把l0向右上和左下平移,易知:
当l过点(0,1)时,z有最大值zmax=0+2×
1=2;
当l过点(0,-1)时,z有最小值zmin=0+2×
(-1)=-2.
5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是( )
A.0B.1
C.-1D.2
【解析】 由于|x-2|+|x-a|≥|a-2|,
∴等价于|a-2|≥a,即a≤1.
故实数a的最大值为1.
二、填空题
6.不等式|2x-1|≤3的解集为________.
【解析】 由|2x-1|≤3,得-3≤2x-1≤3,
解得-1≤x≤2,即解集为[-1,2].
【答案】 [-1,2]
7.不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是________.
【解析】 法一:
不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,
两边平方得(x+1)2≥(x-3)2,解得x≥1,
故不等式的解集为[1,+∞).
不等式等价转化为|x+1|≥|x-3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点-1的距离大于等于到点3的距离,到两点距离相等时x=1,故不等式的解集为[1,+∞).
【答案】 [1,+∞)
8.若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<
a无解,则实数a的取值范围是________.
【解析】 ∵|x-5|+|x+3|
=|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8,
∴(|x-5|+|x+3|)min=8,
要使|x-5|+|x+3|<
a无解,只需a≤8.
【答案】 (-∞,8]
三、解答题
9.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
【解】
(1)当a=-3时,f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<
3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|
⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
10.如图121所示,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点.设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和.
(1)将y表示为x的函数;
(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值?
图121
【解】
(1)依题意y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x≤30.
(2)由题意,x满足
(*)
①当0≤x≤10时,不等式组(*)化为4(10-x)+6(20-x)≤70,
解得9≤x≤10;
②当10<x<20时,不等式组(*)化为4(x-10)+6(20-x)≤70,
解得10<
x<20;
③当20≤x≤30时,不等式组(*)化为4(x-10)+6(x-20)≤70,
解得20≤x≤23.
综合①②③知,x的取值范围是9≤x≤23.
[能力提升]
1.若不等式|2x+1|-|x-4|≥m恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-1]B.
D.(-∞,-5]
【解析】 令f(x)=|2x+1|-|x-4|
=
x=-
时,[f(x)]min=f
=-
,∴m≤-
【答案】 C
2.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满足( )
A.|a+b|≤3B.|a+b|≥3
C.|a-b|≤3D.|a-b|≥3
【解析】 由|x-a|<1,得a-1<x<a+1.
由|x-b|>2,得x<b-2或x>b+2.
∵A⊆B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2,
即a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3.
3.已知a∈R,若关于x的方程x2+x+
+|a|=0有实根,则实数a的取值范围是________.
【解析】 ∵方程x2+x+
+|a|=0有实根,
∴Δ=12-4
≥0,即
+|a|≤
.根据绝对值的几何意义,知0≤a≤
【答案】
4.已知函数f(x)=|x-a|,其中a>
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为
,求a的值.
【解】
(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得x≤1;
4时,f(x)≥4-|x-4|无解;
当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|,得2x-6≥4,解得x≥5.
所以f(x)≥4-|x-4|的解集为
(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),
则h(x)=
由|h(x)|≤2,解得
≤x≤
又已知|h(x)|≤2的解集为
于是a=3.
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