最新2017高考数学测试题含答案.doc

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2017学年度上学期高三年级

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（　　）

A．{1} B．{2} C．1 D．2

2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（　　）

A．2B． C．1 D．3

3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（　　）

A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4

4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（　　）

A． B． C． D．

5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（　　）

A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20

6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（，2] C．（，2] D．（2，4]

7．数列{an}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+an=2n﹣1，则a12+a22+…+an2等于（　　）

A．（2n﹣1）2 B．C．4n﹣1 D．

8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何

体的体积为（　　）

A．2 B． C． D．

9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（　　）

A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）

C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）

10．若圆C：

x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣，﹣1） B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2） D．（﹣，﹣2]

12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′

（1）ex﹣1，若

g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值　　　　．

14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=　　　　．

15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是　　　　．

X

﹣2

0

4

f（x）

1

﹣1

1

16.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为　　　　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．

（1）求∠C的大小；

（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．

18.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：

，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

19.（本小题满分12分）已知圆C：

x2+y2+2x﹣4y+3=0．

（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

20.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：

AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．

（1）若a=﹣2，求证：

函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：

ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．

（1）求直线AB的极坐标方程；

（2）若过点C（2，0）的直线C2：

（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：

|CE|的值．

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

2016～2017学年度上学期高三年级

期中考试

理科数学参考答案

一．选择题

1-5BCCDA6-10ADBDC11-12DA．

　二．填空题

13．﹣814.．16.．

　三．解答题

17．解：

（1）依题意：

，即，

又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分

（2）由三角形是锐角三角形可得，

即由正弦定理得

∴，

，，

=

==

=

==，

∵，∴，

∴，即...............12分

18.．解：

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，

知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）

（Ⅱ）∵（n≥1）①

∴②（4分）

②﹣①得：

，

bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）

（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）

令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①

则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②

①﹣②得：

﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）

∴数列{cn}的前n项和…（12分）

19.解：

（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，

又∵圆C：

（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，

即，解得：

a=﹣1或a=3，

当截距为零时，设y=kx，同理可得或，

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分

（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．

∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，

∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分

20.证明：

（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）

解：

（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．

由AD=3，可知，．

则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），

所以，．

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．

令，则=．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．

所以cos．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）

（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．

因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．

此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）

21.解：

（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，

所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分

（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f

（1）=1．　

若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；

当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]min==．

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；

当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；

当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分

（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而（x∈[1，e]）

令（x∈[1，e]），又，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g

（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分

22.解：

（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，

极坐标与直角坐标有如下关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，

曲线C1：

ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x2+y2=﹣4y，

∴曲线C1：

x2+y2+y=0，∴直线AB的普通方程为：

（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4y）=0，

∴y=﹣x，∴ρsinθ=﹣ρ