考点14 四边形中考数学考点归纳总结Word文件下载.docx
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互相平分.
(4)对称性:
中心对称但不是轴对称.
3.注意:
利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法:
(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
(2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.
(3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
4.平行四边形中的几个解题模型
(1)如图①,AE平分∠BAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形,即AB=BE.
(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB;
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD;
根据平行四边形的中心对称性,可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
(3)如图③,已知点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
(4)如图④,根据平行四边形的面积的求法,可得AE·
BC=AF·
CD.
三、平行四边形的判定
(1)方法一(定义法):
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)方法二:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)方法三:
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(4)方法四:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(5)方法五:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
四、特殊平行四边形的性质与判定
1.矩形的性质与判定
(1)矩形的性质:
①四个角都是直角;
②对角线相等且互相平分;
③面积=长×
宽=2S△ABD=4S△AOB.(如图)
(2)矩形的判定:
①定义法:
有一个角是直角的平行四边形;
②有三个角是直角;
③对角线相等的平行四边形.
2.菱形的性质与判定
(1)菱形的性质:
①四边相等;
学=科网
②对角线互相垂直、平分,一条对角线平分一组对角;
③面积=底×
高=对角线乘积的一半.
(2)菱形的判定:
有一组邻边相等的平行四边形;
②对角线互相垂直的平行四边形;
③四条边都相等的四边形.
3.正方形的性质与判定
(1)正方形的性质:
①四条边都相等,四个角都是直角;
②对角线相等且互相垂直平分;
③面积=边长×
边长=2S△ABD=4S△AOB.
(2)正方形的判定:
有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形;
②一组邻边相等的矩形;
③一个角是直角的菱形;
④对角线相等且互相垂直、平分.
4.联系
①两组对边分别平行;
②相邻两边相等;
③有一个角是直角;
④有一个角是直角;
⑤相邻两边相等;
⑥有一个角是直角,相邻两边相等;
⑦四边相等;
⑧有三个角都是直角.
5.中点四边形
(1)任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.
(2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
(3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
(4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
考向一多边形
多边形内角和:
多边形外角和:
正多边形是各边相等,各角也相等的多边形.
典例1一个多边形的内角和为900°
,则这个多边形是
A.六边形B.七边形
C.八边形D.九边形
【答案】B
典例2如果一个多边形的每一个外角都是60°
,那么这个多边形是
A.四边形B.五边形
C.六边形D.八边形
【答案】C
【解析】多边形外角和为360°
,此多边形外角个数为:
360°
÷
60°
=6,所以此多边形是六边形.
故选C.
【名师点睛】计算正多边形的边数,可以用外角和除以每个外角的度数得到.
1.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°
,则原多边形的边数是
A.17B.16C.15D.16或15或17
2.如果一个多边形的每一个内角都是108°
C.六边形D.七边形
考向二平行四边形的性质与判定
1.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等,角相等提供了新的理论依据.
2.平行四边形的判定方法有五种,在选择判定方法时应根据具体条件而定.对于平行四边形的判定方法,应从边、角及对角线三个角度出发,而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面.
典例3在
ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是
A.3∶4∶3∶4B.5∶2∶2∶5
C.2∶3∶4∶5D.3∶3∶4∶4
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴在
ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是:
3∶4∶3∶4.故选A.学+科网
【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质.熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键.
典例4 在下列条件中,不能判定四边形为平行四边形的是
A.对角线互相平分
B.一组对边平行且相等
C.两组对边分别平行
D.一组对边平行,另一组对边相等
【答案】D
3.平行四边形的周长为24,相邻两边的差为2,则平行四边形的各边长为.
A.4,4,8,8B.5,5,7,7
C.5.5,5.5,6.5,6.5D.3,3,9,9
4.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:
如图所示,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
考向三矩形的性质与判定
1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外,还具有自己单独的性质,即:
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等.
2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
3.矩形的判定:
有三个角是直角的四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例5如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是
A.AB=CD,AC=BDB.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD,AC=BDD.AB∥CD,AD=BC
【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键,记住对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是90度的平行四边形是矩形,有三个角是90度的四边形是矩形.此类题属于中考常考题型.
典例6如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°
,AC=6cm,则AB的长是
A.1cmB.2cm
C.3cmD.4cm
【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD=3cm,∵∠AOB=60°
,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=3cm,故选C.
【名师点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定和性质,熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键.
5.能判断四边形是矩形的条件是
A.两条对角线互相平分
B.两条对角线相等
C.两条对角线互相平分且相等
D.两条对角线互相垂直
6.如图,已知在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,若∠DAE∶∠BAE=3∶1,则∠EAC的度数是
A.18°
B.36°
C.45°
D.72°
考向四菱形的性质与判定
1.菱形除了具有平行四边形的一切性质外,具有自己单独的性质,
即:
菱形的四条边都相等;
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
2.菱形的判定:
四条边都相等的四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
典例7 菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等
C.一组邻边相等D.对角线互相平分
【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较,可发现A,B,D两者均具有,而C只有菱形具有平行四边形不具有,故选C.
【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
典例8 如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且满足AO=CO,请你添加一个适当的条件_____________,使四边形ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
【答案】BO=DO(答案不唯一)
【解析】四边形ABCD中,AC、BD互相垂直,若四边形ABCD是菱形,需添加的条件是:
AC、BD互相平分(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).故答案为:
BO=DO(答案不唯一).
7.已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为
A.45°
,135°
B.60°
,120°
C.90°
,90°
D.30°
,150°
8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:
四边形AEDF是菱形.
考向五正方形的性质与判定
1.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.
2.正方形的判定:
以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判定方法,如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形,再根据相应判定方法证明四边形是正方形.学!
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典例9 如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,BE=BC,则∠BEC的度数是
B.60°
C.67.5°
D.82.5°
【解析】利用正方形的性质,可知∠CBE=45°
,再根据等腰三角形的性质即可得出答案.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBD=45°
,∵BC=BE,∴∠BEC=∠BCE=
×
(180°
−45°
)=67.5°
.故选C.
典例10 下列命题正确的是
A.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定,此题难度不大.
9.如图,已知正方形ABCD的边长为5
,E为BC边上的一点,∠EBC=30°
,则BE的长为
A.
B.2
C.5D.10
10.如图,要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明
A.AB=AD且AC⊥BDB.AB=AD且AC=BD
C.∠A=∠B且AC=BDD.AC和BD互相垂直平分
考向六中点四边形
1.中点四边形一定是平行四边形;
2.中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
典例11 如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
【解析】A.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC=BD时,存在EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形,故A正确;
B.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC⊥BD时,存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°
,故四边形EFGH为矩形,故B正确;
C.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF∥HG,EF=HG,则四边形EFGH为平行四边形,故C正确;
D.如图所示,当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时,若EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH为菱形,故D错误;
故选D.
11.顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是
A.平行四边形B.菱形
C.矩形D.梯形
12.如图,我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.若四边形ABCD的面积记为S1,中点四边形EFGH的面积记为S2,则S1与S2的数量关系是
A.S1=3S2B.2S1=3S2
C.S1=2S2D.3S1=4S2
1.下面四个图形中,是多边形的是
2.若一个正n边形的每个内角为144°
,则这个正n边形的所有对角线的条数是
A.7B.10C.35D.70
3.n边形的边数增加一倍,它的内角和增加
A.180°
B.360°
C.(n–2)·
D.n180°
4.七边形的外角和等于
A.180º
B.360º
C.540º
D.720º
5.在平行四边形ABCD中,∠A的平分线交DC于E,若∠DEA=30°
,则∠B=
A.100°
B.120°
C.135°
D.150°
6.如图所示,在
ABCD中,E,F分别为AB,DC的中点,连接DE,EF,FB,则图中共有_____个平行四边形.
7.如图,矩形ABCD中将其沿EF翻折后,D点恰落在B处,∠BFE=650,则∠AEB=____________.
8.如图,正方形ABCD的面积为5,正方形BEFG面积为4,那么△GCE的面积是________.
9.如图,在
ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10.
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)求BD的长.学科!
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10.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;
(2)当BD,AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形.
11.如图,在矩形ABCD中,E,F分别为边AD,BC上的点,AE=CF,对角线CA平分∠ECF.
四边形AECF为菱形.
(2)已知AB=4,BC=8,求菱形AECF的面积.
1.(2017•铜仁市)一个多边形的每个内角都等于144°
,则这个多边形的边数是
A.8B.9
C.10D.11
2.(2017•黑龙江)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD周长是
A.22B.20
C.22或20D.18
3.(2017•聊城)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是
A.AB=ACB.AD=BD
C.BE⊥ACD.BE平分∠ABC
4.(2017•西宁)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为
A.5B.4C.
D.
5.(2017•扬州)在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=200°
,则∠A=__________.
6.(2017•青海)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠3+∠1–∠2=__________.
7.(2017•邵阳)如图所示的正六边形ABCDEF,连接FD,则∠FDC的大小为__________.
8.(2017•抚顺)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=3时,线段BC的长为__________.
9.(2017•襄阳)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°
,BD=6,求AD的长.
10.(2017•安顺)如图,DB∥AC,且DB=
AC,E是AC的中点.
BC=DE;
(2)连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形,则需给△ABC添加什么条件,为什么?
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