昌平理科高三数学.docx
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昌平区2016-2017学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科)
(满分150分,考试时间120分钟)2017.1
考生须知:
1.本试卷共6页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3.答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答,第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4.修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。
保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5.考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
(1)已知全集,集合,那么
(A)(B)(C)(D)
(2)下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
(A)(B)(C)(D)
(3)执行如图所示的程序框图,若输入的值为1,则输出的值为
(A)(B)(C)(D)
(4)设,则
(A)(B)(C)(D)
(5)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是
(A)(B)(C)(D)
x
y
O
(6)已知函数的图象如图所示,则函数的解析式的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)在焦距为的椭圆中,是椭圆的两个焦点,则“”是“椭圆上至少存在一点,使得”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)若函数满足:
集合中至少存在三个不同的数构成等差数列,则称函数是等差源函数.判断下列函数:
①;②;③中,所有的等差源函数的序号是()
(A)(B)(C)(D)
第二卷(非选择题共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
(9)设,若,则______.
(10)已知正项等比数列中,为其前项和,,,则________.
(11)若满足则的最大值为.
(12)已知角终边经过点,则___________.
(13)在矩形中,,那么______;若为线段上的动点,则的取值范围是___________.
(14)设函数
①若,则的零点个数为;
②若恰有1个零点,则实数的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
已知是等边三角形,在的延长线上,且,.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求的值.
(16)(本小题满分13分)
A、B两个班共有65名学生,为调查他们的引体向上锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据(单位:
个),用茎叶图记录如下:
(I)试估计B班的学生人数;
(II)从A班和B班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,B班选出的人记为乙,假设所有学生的测试相对独立,比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定:
当甲的测试数据比乙的测试数据低时,记,
当甲的测试数据与乙的测试数据相等时,记,
当甲的测试数据比乙的测试数据高时,记.
求随机变量的分布列及期望.
(III)再从A、B两个班中各随机抽取一名学生,他们引体向上的测试数据分别是10,8(单位:
个),这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记,表格中数据的平均数记为,试判断和的大小(结论不要求证明).
(17)(本小题满分14分)
如图1,四边形为正方形,延长至,使得,将四边形沿折起到的位置,使平面平面,如图2.
(I)求证:
平面;
(II)求异面直线与所成角的大小;
(III)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
设函数,.
(Ⅰ)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若曲线在点处的切线与直线平行.
(i)求的值;
(ii)求实数的取值范围,使得对恒成立.
19.(本小题满分14分)
椭圆的焦点为,,且点在椭圆上.过点的动直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为点(不同于点).
(I)求椭圆的标准方程;
(II)证明:
直线恒过定点,并求出定点坐标.
20.(本小题满分13分)
已知是集合所表示图形边界上的整点(横、纵坐标都是整数的点)的集合,集合.规定:
⑴对于任意的,,.
⑵对于任意的,序列,满足:
①,;
②,,,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:
,;
(Ⅲ)若,写出满足条件的的最小值及相应的,,…,.
昌平区2016-2017学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科)参考答案及评分标准2017.1
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
D
B
C
C
B
A
D
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)(10)
(11)(12)
(13);(14);
(第一空2分,第二空3分)
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设.
因为是等边三角形,
所以.
因为,
所以.
即.
所以(舍).
所以.……………6分
(Ⅱ)因为,
所以.
所以.
在中,
因为,
所以.……………13分
(16)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由题意可知,抽出的名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样方法,班的学生人数估计为(人).……………3分
(Ⅱ);;
则的概率分布为:
.……………11分
(Ⅲ).……………13分
(17)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)证明:
因为平面平面,且平面平面,
因为四边形为正方形,在的延长线上,
所以.
因为平面,
所以平面.……………4分
(Ⅱ)法一:
连接.
因为是正方形,
所以.
因为平面,
所以.
因为,
所以平面.
所以.
所以异面直线与所成的角是.……………9分
法二:
以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示.
设则.
则.
所以.
因为,
所以.
所以异面直线与所成的角是.……………9分
(Ⅲ)因为平面,
所以平面的法向量.
设平面的法向量.
因为,
所以,即.
设,则.
所以.
因为
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.……………14分
(18)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)当时,,
则.
当时,;
当时,;
所以的单调增区间为,单调减区间为.……………4分
(Ⅱ)(i)因为,
所以.
依题设有即
解得.……………8分
(ii)所以.
对恒成立,
即对恒成立.
令.
则有.
①当时,当时,,
所以在上单调递增.
所以,即当时,;
②当时,当时,,
所以在上单调递减,
故当时,,
即当时,不恒成立.
综上,.……………13分
(19)(本小题满分14分)
解:
(I)法一
设椭圆的标准方程为.
由已知得解得.
所以椭圆的方程为.…………6分
法二
设椭圆的标准方程为.
由已知得,.
所以,.
所以椭圆的方程为.…………6分
(II)法一
当直线的斜率存在时(由题意),设直线的方程为.
由得.
设,.
则
特殊地,当为时,,所以,,,即
.
所以点关于轴的对称点,则直线的方程为.
又因为当直线斜率不存时,直线的方程为,
如果存在定点满足条件,则.
所以,,
又因为,
所以,即三点共线.
即直线恒过定点,定点坐标为.…………14分
法二
(II)①当直线的斜率存在时(由题意),设直线的方程为.
由,可得.
设,则.
所以
因为,
所以直线的方程为:
.
所以
.
因为当,
所以直线恒过点.
②当不存在时,直线的方程为,过定点.
综上所述,直线恒过定点,定点坐标为.…………14分
(20)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)对于任意的,,
若,则,或,
故,或.…………4分
(Ⅱ)证明:
假设命题不成立,即,使;
即,,…,,使,化简得,
所以存在,且,使.
又因为是偶数,而是奇数,与矛盾,
故假设不成立,即,.…………9分
(Ⅲ)解:
,,,,,.
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