新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(教师版)doc.doc
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新课预习讲义
选修2-1:
第二章椭圆
(二)
§2.2.2椭圆的几何性质
●学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质
2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.通过椭圆标准方程的求法,体会一元二次方程的根与系数的关系的应用.
4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定.
5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系,并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.
●学习重点:
1.椭圆的简单几何性质.(重点)
2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系,相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点.
3.椭圆的第二定义,椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题.
●学习难点
1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题.
2.命题形式比较灵活,各种题型均有可能出现.,命题的形式多样化.
一、自学导航
●知识回顾:
复习1:
椭圆的定义是____________________________________________________,
复习2:
椭圆的标准方程是:
①焦点在x轴上时,___________________,焦点在y轴上时_______________;
、、间的关系是_________________
复习3:
椭圆上一点到左焦点的距离是,那么它到右焦点的距离是.
复习4:
方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是.
●预习教材:
第43页——第51页的内容。
●自主梳理:
1、椭圆的几何性质:
(1)范围;
(2)对称性;(3)顶点(长轴、短轴、焦距);(4)离心率;
2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程(教材第51页)
●预习检测:
1.椭圆x2+4y2=1的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:
将椭圆方程x2+4y2=1化为标准方程x2+=1,
则a2=1,b2=, 即a=1,b=, 所以c=, 故离心率e==.故选A.
2.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是( )
A.+=1或+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:
由已知a=4,b=2,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程是+=1.故选C.
3.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是( )
A.点(-2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内 D.点(2,-3)在椭圆上
解析:
+=1,则点(-2,3)、点(-2,-3)、点(2,-3)在椭圆上.故选D.
4.已知点(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是________.
解析:
设截得的线段为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为(x0,y0),利用“点差法”
得=-, 即·=-,∴k==-,
∴直线l的方程为y-2=-(x-4), 即x+2y-8=0.
答案:
x+2y-8=0
5.过椭圆+=1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求弦AB的长.
解析:
由椭圆方程得a2=5,b2=4,c2=1,左焦点为(-1,0).
直线AB的方程为y=2(x+1)
代入+=1得6x2+10x=0. ∴x1=0或x2=-
|AB|==
●问题与困惑:
二、互动探究
●问题探究:
(一)椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
,
,
顶点
(±a,0),(0,±b)
(±a,0),(0,±b)
轴长
短轴长=,长轴长
焦点
焦距
|F1F2|=
对称性
对称轴:
坐标轴,对称中心:
坐标原点.
离心率
.
(二)椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等
1、椭圆的第二定义:
若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数
,则动点的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程:
若焦点在轴上,则左准线是;右准线是;
若焦点在轴上,则下准线是;上准线是;
3、椭圆上任意一点的焦半径(其中,为左焦点,为右焦点):
,
(若焦点在轴上,其中,为下焦点,为上焦点,则,
●典例导析:
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长,焦点坐标和顶点坐标和离心率:
(1)4x2+9y2=36;
(2)m2x2+4m2y2=1(m>0).
[思路点拨]
[解题过程]
(1)将椭圆方程变形为+=1,∴a=3,b=2,∴c===.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a=6,2c=2,
焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),
顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2),
离心率e==.
(2)椭圆的方程m2x2+4m2y2=1(m>0)可化为+=1. ∵m2<4m2,∴>,
∴椭圆的焦点在x轴上,并且长半轴长a=,短半轴长b=,半焦距长c=.
∴椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,
焦点坐标为,,
顶点坐标为,,,.
e===.
[题后感悟] 已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2,求出焦点坐标,再写出顶点坐标.
变式训练:
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
(1)25x2+y2=25;
(2)4x2+9y2=1.
解析:
(1)将椭圆方程变形为x2+=1,
∴a=5,b=1, ∴c===2.
∴椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=2.
焦点坐标为F1(0,-2),F2(0,2),
顶点坐标A1(0,-5),A2(0,5),B1(-1,0),B2(1,0).
离心率e==.
(2)椭圆的长轴长和焦距分别为2a=1,2c=,
离心率e==,焦点坐标为F1,F2,
顶点坐标为A1,A2,B1,B2
题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴在x轴上,长轴的长等于12,离心率等于;
(2)长轴长是短轴长的2倍,且椭圆过点(-2,-4).
[思路点拨]
[解题过程]
(1)由已知2a=12,e==,得a=6,c=4,从而b2=a2-c2=20,又长轴在x轴上,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)∵2a=2×2b,∴a=2b,
当焦点在x轴上时,设方程为+=1,
∵点(-2,-4)在椭圆上,∴+=1,∴b2=17.
∴椭圆的标准方程为+=1,
当焦点在y轴上时,设方程为:
+=1,
∵点(-2,-4)在椭圆上,∴+=1,
∴b2=8,∴椭圆的标准方程为:
+=1.
综上,椭圆的标准方程为+=1或+=1.
[题后感悟]
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,一般步骤是:
①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.
(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用.
变式训练:
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6;
(2)以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的5倍,且经过点A(5,0).
解析:
(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=3, ∴a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的方程为+=1.
(2)方法一:
若椭圆的焦点在x轴上,
设其标准方程为+=1(a>b>0).由题意,得解得
故所求的标准方程为+y2=1;
若椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),
由题意,得解得
故所求的标准方程为+=1.
综上所述,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
方法二:
设椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n),
由题意,得或
解得或
故所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
题型三、求椭圆的离心率
例3、如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆
的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.
[思路点拨]
求椭圆的离心率就是要设法建立a、c的关系式,可借助△PF1F2∽△AOB来建
立a、c的关系式.
[规范作答] 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
如题图所示,则有F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),
直线PF1的方程为x=-c,
代入方程+=1,得y=±,
∴P.又PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB.
∴=,∴=,∴b=2c.
∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴=.
∴e2=,即e=,所以椭圆的离心率为.
[题后感悟]
(1)求离心率e时,除用关系式a2=b2+c2外,还要注意的代换,通过解方程求离心率.
(2)在椭圆中涉及三角形问题时,要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识.
变式训练:
3.已知椭圆的两个焦点为F1、F2,A为椭圆上一点,且AF1⊥AF2,∠AF2F1=60°,求该椭圆的离心率.
解析:
不妨设椭圆的焦点在x轴上,画出草图如图所示
由AF1⊥AF2知,△AF1F2为直角三角形,且∠AF2F1=60°.
由椭圆定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c.
则在Rt△AF1F2中,由∠AF2F1=60°得|AF2|=c,|AF1|=c,
所以|AF1|+|AF2|=2a=(+1)c,
所以离心率e==-1.
题型四、直线与椭圆的位置关系
例4、若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求m的取值范围.
[思路点拨]
[解题过程] 方法一:
由消去y,
得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,
∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0对任意k∈R都成立.
∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,
∴1-m≤0,即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴0<m<5,
∴1≤m<5.
方法二:
∵直线y=kx+1过定点M(0,1),
∴要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,
由此得解得1≤m<5.
[题后感悟] 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为:
联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到关于x或y的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ,则
(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0;
(2)直线与椭圆相切⇔Δ=0;(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.
变式训练:
4.对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的公共点个数.
解析:
直线与椭圆的公共点的坐标就是下面方程组的解:
将①代入②得+(x+m)2=1,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0③
此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定,
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).
当-<m<时,Δ>0,方程③有两个不同的实数根,代入①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆有两个公共点.
当m=-或m=时,Δ=0,方程③有两个相等的实数根,代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆有一个公共点.
当m<-或m>时,Δ<0,方程③没有实数根,直线与椭圆没有公共点.
题型五、中点弦问题
例5、已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.
[
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