新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(教师版)doc.doc
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新课预习讲义
选修2-1:
第二章§2.3双曲线
(二)
§2.3.2双曲线的简单几何性质
(1)
●学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.
●学习重点:
1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用.
2.双曲线的几何性质是考查的重点,其中离心率、渐近线是考查的热点.
●学习难点
1.是渐近线的理解和应用.
2.双曲线的几何性质经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合出题,考查学生分析问题的能力
一、自学导航
●知识回顾:
复习1:
双曲线的定义及其标准方程
复习2:
前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?
●预习教材:
第56页——第63页的内容。
●自主梳理:
1、双曲线的几何性质:
(1)范围;
(2)对称性;(3)顶点(长轴、短轴、焦距);(4)离心率;
2.双曲线的渐近线
●预习检测:
1.下列双曲线中离心率为的是( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
解析:
∵e=,c2=a2+b2,∴e2===1+=2=,
∴=,观察各曲线方程得B项系数符合,故选B. 答案:
B
2.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.2 B.2 C. D.1
解析:
双曲线-=1的一条渐近线为y=x,
从而c==4,则其中一个焦点的坐标为(4,0),
由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为=2,故选A.
3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则的值为________.
解析:
由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,
则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-.
4.求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点是(-4,0),(4,0),过点(2,0);
(2)离心率为,半虚轴长为2.
答案:
(1)-=1
(2)-=1和-=1.
●问题与困惑:
二、互动探究
●问题探究:
探究1:
由椭圆的几何性质出发,类比探究双曲线的几何性质?
范围:
:
:
对称性:
双曲线关于轴、轴及都对称.
顶点:
(),().
实轴,其长为;虚轴,其长为.
离心率:
.
探究2:
双曲线的几何性质?
图形:
范围:
:
:
对称性:
双曲线关于轴、轴及都对称.
顶点:
(),()
实轴,其长为;虚轴,其长为.
离心率:
.
探究3:
双曲线的渐近线:
(1)双曲线的渐近线是怎样得到的?
(2)由此,焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________
焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线.它的渐近线方程是_____________
●基础知识归纳:
双曲线的几何性质
标准方程
图形
性 质
范围
或
或
对称性
关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称
顶点
(±a,0)
(0,±a)
轴长
实轴长=2a,虚轴长=2b
焦点
(±c,0)
(0,±c)
焦距
2c
离心率
渐近线
●典例导析:
题型一、由双曲线的标准方程求几何性质
例1-1、(2012年高考浙江卷理科8)如图,F1,F2分别是双曲线C:
(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A.B. C.D.
[思路点拨]
1、作出图示,可写出的直线方程;
2、再由的直线方程与两渐近线方程联解得出P、Q的坐标;
3、再求出PQ的中点N的坐标,并写出中垂线方程
4、令得M的坐标,并由|MF2|=|F1F2|建立、之间的关系式
5、求出离心率
【解析】如图:
|OB|=b,|OF1|=c.∴kPQ=,kMN=.
直线PQ为:
y=(x+c),两条渐近线为:
y=x.由,得:
Q(,);
由,得:
P(,).PQ的中点N(,)
∴直线MN为:
令y=0得:
xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,解之得:
,即e=.
【答案】B
[题后感悟] 1.已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c,从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定a、b、c的值.
2.若涉及直线交点问题时常需要解方程组.
变式训练:
1-1(2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C:
-=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2|=.
【答案】6
【解析】:
,由角平分线的性质得
又
例1-2、求双曲线16x2-9y2=-144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
[思路点拨]
由题目可获取以下主要信息:
①双曲线方程不是标准方程;
②双曲线方程焦点在y轴上.
解答本题可先把方程化成标准方程,确定a,b,c,再求其几何性质.
[解题过程] 把方程16x2-9y2=-144化为标准方程
-=1,
由此可知,实轴长2a=8,
虚轴长2b=6,c==5.
焦点坐标为(0,-5),(0,5);
离心率e==;
顶点坐标为(0,-4),(0,4);
渐近线方程为y=±x.
[题后感悟] 1.已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c,从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定a、b、c的值.
2.已知双曲线的标准方程,求其渐近线方程,只需将等式右边的常数1改成0即可(不管焦点在什么位置)
变式训练:
1-2.求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长,半虚轴长,焦点坐标,离心率,顶点坐标和渐近线方程.
解析:
把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)
化为标准方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,半实轴长a=,半虚轴长b=,c=,
焦点坐标(,0)(-,0),
离心率e===.
顶点坐标为(-,0),(,0).
∴渐近线的方程为y=±x=±x.
题型二、由双曲线的几何性质求其标准方程
例2、已知双曲线中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(3,-1),一条渐近线与直线3x-y=10平行,求双曲线标准方程.
[思路点拨]1.由渐近线与3x-y=10平行,可确定渐近线方程,得与的比例关系
2.由双曲线过已知点可得另一定量关系
3.因为无定位条件,可分两类设出双曲线的标准方程.
[解题过程] 由已知,双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,由于其中一条渐近线与直线l:
3x-y=10平行,所以,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,即y=3x.
方法一:
(1)若双曲线的焦点在x轴上,则由渐近线方程y=3x,=3,∴b=3a.
故可设双曲线方程-=1,
又双曲线过点P(3,-1),
∴-=1,解得a2=,∴b2=80.
∴所求双曲线方程为-=1.
(2)若双曲线焦点在y轴上,由渐近线方程y=3x得=3,
∴a=3b.
可设双曲线标准方程-=1.
∵点P(3,-1)在双曲线上,∴-=1,解得9b2=-80,不合题意.
综上所述,所求双曲线的标准方程是-=1.
方法二:
据双曲线的渐近线方程3x-y=0,可设双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点P(3,-1),
所以9×32-(-1)2=λ,即λ=80.
∴所求双曲线的标准方程为-=1.
[题后感悟] 如何求过定点并已知渐近线的双曲线方程?
(1)求双曲线的标准方程的步骤
①确定或分类讨论双曲线的焦点所在坐标轴;
②设双曲线的标准方程;
③根据已知条件或几何性质列方程,求待定系数;
④求出a,b,写出方程.
(2)方法二揭示了双曲线标准方程与渐近线方程之间的关系,若双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则该双曲线的渐近线方程为-=0,即y=±x,反之亦然.
(3)已知双曲线的渐近线方程(、为已知值)求双曲线方程,可设所求双曲线为
,再由另一个定量条件求出即可。
变式训练:
2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)双曲线的渐近线方程为2x±3y=0且经过点P(,2);
(2)顶点在x轴上,两顶点间的距离为8,离心率是.
解析:
(1)方法一:
设双曲线方程为-=1(mn>0).
∵双曲线过点P(,2),且点P在直线y=x的上方,
∴m<0,n<0,即焦点在y轴上,又渐近线斜率k=±,
∴解得
故所求双曲线方程为-=1.
方法二:
由于双曲线的渐近线方程是y=±x,
所以可设双曲线方程为-=λ(λ≠0).
∵双曲线过点P(,2).
∴-=λ,λ=-.
故所求双曲线方程为-=1.
(2)由已知设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
则2a=8,∴a=4.
由e==得c=5.
∴b2=c2-a2=52-42=9.
∴所求双曲线方程为-=1.
●直通高考题:
1.►(2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[w~#ww.zz&st︿@]
【答案】A21世纪教育网
【解析】设双曲线C:
-=1的半焦距为,则.
又C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,,即.
又,,C的方程为-=1.
2.►(2011年高考山东卷理科8)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:
相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
(A)(B)(C)(D)
3.►(2010年高考福建卷理科7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为是已知双曲线的左焦点,所以,即,所以双曲线方程为,设点P,则有,解得,因为,,所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最小值,故的取值范围是,选B。
4.►(2010年全国高考宁夏卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过F的直线与相交于A,B两点,且AB的中点为,则的方程式为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
解析:
由已知条件易得直线的斜率为,设双曲线方程为,,则有,两式相减并结合得,,从而,即,又,解得,故选B.
题型三、双曲线的离心率问题
例3、已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.
[思路点拨]
[规范作答] 设F1(c,0),将x=c代入双曲线的方程得
-=1,那么y=±,
由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,
∴=2c,∴b2=2ac
∴c2-2ac-a2=0,∴2-2×-1=0
即e2-2e-1=0,∴e=1+或e=1-(舍去)
所以所求双曲线的离心率为1+.
[题后感悟]
(1)求双曲线的
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