最新人教版高中数学选修11《抛物线及其标准方程》教学设计文档格式.docx
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它具有怎样的几何特征?
它的方程是什么呢?
这就是我们今天要研究的内容.
2.抛物线的定义
本节信息技术应用(课堂中用几何画板展示画图过程)
先看一个实验:
如图:
点F是定点,l是不经过点F的定直线,H是l上任意一点,过点H作MH⊥l,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?
(学生观察画图过程,并讨论)
可以发现,点M随着H的运动,始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等.(也可以用几何画板度量|MH|,|MF|的值)
(定义引入):
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.(板书)
提出问题:
定点F与定直线l是什么关系?
为什么定义里要强调点F不在直线l上?
如果定点F和定直线l之间的距离越来越小,抛物线有什么变化?
活动设计:
由教师利用多媒体演示,学生观察、讨论.
活动结果:
发现当点F和直线l之间的距离越来越小时,抛物线的开口越来越窄.抛物线的形状实质上是取决于焦距.焦距不同,抛物线就不同.
定点F越来越靠近直线l,并最终落在直线l上时,抛物线有什么变化?
曲线退化为一条过点F且垂直于直线l的直线.
3.抛物线的标准方程
探究:
从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点M(x,y)满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等.那么动点M(x,y)的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?
设焦点F到准线l的距离为p(p>
0),你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程,才能使所得的方程取较简单的形式呢?
按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程.
让学生分组讨论,教师巡视,最后由小组推荐一人上台板演:
学生得到了3种不同的方案:
方案1:
以l为y轴,过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(如图).设定点F(p,0),动点M的坐标为(x,y),过M作MD⊥y轴于D,抛物线的集合为:
p={M||MF|=|MD|}.
由坐标表示得:
=|x|.
化简后得:
y2=2px-p2(p>0).
方案2:
以定点F为原点,平行于l的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设动点M的坐标为(x,y),且设直线l的方程为x=-p,定点F(0,0),过M作MD⊥l于D,抛物线的集合为:
=|x+p|
化简得:
y2=2px+p2(p>0).
方案3:
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图).
设|KF|=p,则定点F的坐标为(
,0),准线l的方程为x=-
,设抛物线上的点M(x,y)到l的距离为d,抛物线是集合p={M||MF|=d}.
∵|MF|=
,d=|x+
|,
∴
=|x+
|.
y2=2px(p>0).
观察以上3个建系方案及其对应的方程,你认为应该选择哪个方程作为抛物线的标准方程呢?
学情预测:
开始学生的回答可能不全面,但在其他同学的不断补充、纠正下,会趋于完善.如方程的形式较简单、对称轴、焦点、方程无常数项、顶点在原点等.
我们把方程y2=2px(p>
0)叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是(
,0),准线方程是x=-
.
在求椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程,对于抛物线,当我们选择如图(投影展示下列表格的第一列)四种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程:
学生分四组分别计算四种情况,一起填充表格
图形
开口方向
标准方程
焦点坐标
准线方程
向右
y2=2px
(p>
0)
(
,0)
x=-
向左
y2=-2px
(-
x=
向上
x2=2py
(0,
)
y=-
向下
x2=-2py
(0,-
y=
理解新知
观察抛物线图形及其标准方程,师生共同总结归纳:
(1)所建坐标系的共同特点:
①抛物线都过原点;
②对称轴为坐标轴;
③准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称.
(2)p(p>
0)表示焦点F到准线l的距离;
(3)抛物线标准方程中若一次项是x,则对称轴为x轴,焦点在x轴上;
若一次项是y,则对称轴为y轴,焦点在y轴上;
而且“+”在正半轴上,“-”在负半轴上.(对称轴看一次项)
(4)若标准方程中一次项前面的系数为正数,则开口方向为x轴或y轴的正方向;
若一次项前面的系数为负数,则开口方向为x轴或y轴的负方向.(符号决定开口方向)
(5)焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的
,准线方程中的数值是一次项系数的-
运用新知
例题研讨,变式精析
1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程.
分析:
(1)先看清一次项,判定对称轴与焦点所在位置,再利用焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的
,得到焦点坐标和准线方程.
(2)先判定出焦点在y轴上,从而得到一次项为y,再利用
关系写出方程.
解:
(1)因为p=3,所以抛物线的焦点坐标为(
,0),准线方程为x=-
(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且
=2,p=4,
所以,所求抛物线方程为x2=-8y.
点评:
(1)进一步熟悉由抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程,及由焦点求方程的方法.
(2)培养学生运用知识解决问题的能力.
2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=20x;
(2)y=2x2;
(3)2y2+5x=0;
(4)x2+8y=0.
(1)
(5,0)
x=-5
(2)
(0,
y=-
(3)
x=
(4)
(0,-2)
y=2
(1)求抛物线的焦点一定要先将方程化成抛物线的标准方程形式.
(2)再利用焦点坐标中横(纵)坐标的值是一次项系数的
请解答下列问题:
1.已知抛物线的标准方程是x2=4y,则你可以得到哪些结论?
(把你能得到的结论都写出来)
2.已知p=1,则你可以得到哪些抛物线的结论?
3.已知焦点在x轴上,________________,可以求得抛物线的标准方程为y2=4x,则题中横线上需要添加什么样的条件?
学生先独立探索,允许互相交流成果.然后,全班交流.
1.对称轴x=0,焦点(0,1),准线方程y=-1.
2.抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-4y或y2=4x或y2=-4x等.
3.焦点坐标为(1,0);
或准线方程的x=-1;
或抛物线过点(1,2)等.
设计意图:
设置本组开放性问题,意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性,训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性,长期坚持,不仅会加深学生对数学的理解、掌握,而且会潜移默化地学会编题、解题.
1.已知抛物线上一点A到焦点的距离等于6,那么点A到准线的距离等于__________.
2.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是______________.
3.抛物线x2=-4y的焦点到准线的距离等于____________.
4.求抛物线y=-4x2的焦点坐标和准线方程.
5.已知抛物线的焦点F(-3,0),求抛物线标准方程.
教学中应注意教学效果的及时信息反馈,做到教学有针对性和实效性.
1.6 2.(6,±
6
) 3.2 4.焦点坐标为(0,-
),准线方程为y=
5.y2=-12x
课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容:
1.抛物线的定义及其标准方程(注意四种形式的异同);
2.
(1)已知焦点或准线方程求抛物线标准方程的基本方法:
关键是:
定轴向—求p值—写方程;
(2)已知抛物线的标准方程,求抛物线的焦点与准线方程,关键要确定轴向.
3.抛物线上点M到焦点F距离的求解方法:
可以转化成点M到准线的距离.
4.注重数形结合、分类讨论思想.
作业布置
课本习题2.4A组1,2,3.
补充练习
1.抛物线x2=y的准线方程是____________________.
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是____________.
3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
+
=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.-2B.2C.-4D.4
4.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A.(
,-1)B.(
,1)
C.(1,2)D.(1,-2)
5.过抛物线y=4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,求线段AB的长.
1.x=-
2.y=-
3.D 4.A
5.解:
由方程x2=
y得,准线方程为y=-
,则点A到准线的距离d1=y1+
,
点B到准线的距离d2=y2+
又由抛物线的定义可得:
|AF|=d1,|BF|=d2,
∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+
+y2+
=
本节先用现实生活中的实例引出课题,借助几何画板的演示功能,使学生通过点的运动,观察到抛物线的轨迹的特征.多媒体创设问题情境,让探究式教学走进课堂,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.
学生虽然通过二次函数对抛物线图形有所了解,但只限于感性认识,缺少理性的思考、探索和创新,这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发,用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动,由此作一些理性的探索和研究.
在教材的处理上,大胆创新,在概念的理解上,根据抛物线定义的特点,结合学生的认识能力和思维习惯,类比前面的椭圆、双曲线求轨迹方程的方法.在标准方程的推导上,并不是直接给出教材中的“建系”方式,而是让学生自主地“建系”,得到三种不同的建系方式,通过所得方程的比较,得到标准方程,从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.
例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,照顾到各个层次的学生,目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用.
备选例题:
1.动圆M过点P(0,2)且与直线y+2=0相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
思路分析:
先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程.
这个轨迹是抛物线,定点是焦点F(0,2),直线是准线y=-2,
∴设抛物线的方程为:
x2=2py,(p>
0).则p=4.
∴所求抛物线的方程为:
x2=8y.
即动圆圆心M的轨迹方程为:
对定义的深刻理解是解决此题的关键.
2.求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
先根据题意判断焦点的位置,采用待定系数法求方程.
当x=0时,y=-3;
当y=0时,x=4.
∴当焦点F为(0,-3)时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>
0),则
p=6,所以抛物线的标准方程为x2=-12y.
当焦点F为(4,0)时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>
p=8,所以抛物线的标准方程为y2=16x.
主要考查p的意义,同时注意全面讨论.
3.已知动圆M与直线y=3相切,且与定圆C:
x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心C的轨迹方程.
由题意,动圆圆心M到点C与到直线y=3的距离相等,故点M的轨迹是抛物线
解法一:
设动圆圆心M(x,y),点M到直线y=3的距离为d,则|MC|=d,
从而有
=|3-y|,整理得x2=-12y.
解法二:
由题意知,动圆圆心M到点C(-3,0)与到直线y=3的距离相等,故点M的轨迹是以C为焦点,直线y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y.
变:
(1)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:
x2+y2=2ax(a>
0)外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
y=0(x<
0)或y2=4ax(x≥0).
(2)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:
0)相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
外切时有y=0(x<
0)或y2=4ax(x≥0);
内切时y=0(x≠a)
(设计者:
姜华)
第2课时
1.掌握定义法求解动点轨迹方程的基本步骤.
2.加深理解抛物线的定义,并拓展推广抛物线定义.
3.能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题.
4.能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化,提高学生的转化能力.
1.理解求解轨迹的重要方法——定义法以及其中所体现的数形结合思想.
2.将折线问题转化为直线问题来解决的化归思想的形成.
3.运用抛物线方程的相关知识解决实际应用问题.
通过经历轨迹方程的求解,及定义与方程的深入探求,经历探求成功的心理体验,激发学生主动探究的动机,提高学生对数形结合思想、化归思想、创新思维的热情.
抛物线的定义及方程的运用.
到焦点的距离与到准线距离的转化.
复习引入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2.推导抛物线的标准方程
如图所示,建立直角坐标系,设|KF|=p(p>
0),那么焦点F的坐标为(
设抛物线上的点M(x,y),则有
化简方程得y2=2px(p>
0).
方程y2=2px(p>
0)叫做抛物线的标准方程.
(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(
,0),它的准线方程是x=-
(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:
y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下.
3.抛物线的准线方程:
如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF|=p(p>
0),则抛物线的标准方程如下:
(1)y2=2px(p>
0),焦点:
,0),准线l:
(2)x2=2py(p>
),准线l:
(3)y2=-2px(p>
(4)x2=-2py(p>
热身练习
1.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:
x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
学生可能会由已知,得点M属于集合P={M||MF|+1=|x+5|}.
将|MF|用点的坐标表示出来,化简后就可得到点M的轨迹方程,但这种解法的化简过程比较繁琐.
引导学生仔细分析题目的条件,“点M与点F的距离比它到直线l:
x+5=0的距离小1”,就是“点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”,由此可知点M的轨迹是以F为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线.
如图,设点M的坐标为(x,y).
由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.
∵
=4,∴p=8.
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为:
y2=16x.
此题为抛物线定义的灵活应用,加强对抛物线定义的理解与认识.
2.说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2=8x 焦点为______________,准线方程为____________________.
(2)x2=4y 焦点为______________,准线方程为____________________.
(3)2y2+3x=0 焦点为______________,准线方程为____________________.
(4)y=-
x2 焦点为______________,准线方程为____________________.
(1)(2,0),x=-2
(2)(0,1),y=-1 (3)(-
,0),x=
(4)(0,-
),y=
复习已知抛物线的标准方程求焦点坐标、准线方程的方法:
关键要确定轴向.
3.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是F(-3,0).
(2)准线方程是y=3.
(3)焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上.
(1)y2=-12x
(2)x2=-12y (3)x2=-8y或x2=8y
以上3个问题可让学生先独立思考,必要时,允许合作讨论.教师巡视指导.
(一)标准方程的再认识
1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(3,-4).
(2)焦点在直线x-y+2=0上.
学生先独立思考,当然,学生自愿合作讨论的也允许.
(1)分析:
因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数,所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程,而标准方程有四种形式,所以要根据条件选设方程形式.
因为点(3,-4)在第四象限,所以抛物线可能开口向右或向下.
故设方程为y2=2px(p>
0)或x2=-2py(p>
将点(3,-4)代入得方程为:
y2=
x或x2=-
y.
(2)分析:
因为焦点在直线上,而且是标准方程,所以焦点也应该在坐标轴上,
而直线与坐标轴有两个交点,这两个焦点都可能是焦点.
由题意知直线与坐标轴交于(-2,0)和(0,2).
若抛物线以(-2,0)为焦点,则方程为y2=-8x.
抛物线以(0,2)为焦点,则方程为x2=8y.
(1)掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程,解题时强调方程形式的选择;
(2)进一步熟悉抛物线的焦点位置与标准方程之间的关系;
(3)培养学生运用知识解决问题的能力.
(二)定义的拓展
2抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为3,则这个点的坐标是____________.
(变式一)抛物线y2=4x上一点的横坐标是4,则这个点到焦点的距离为____________.
(变式二)抛物线y2=2px上有一点A(4,m)到准线的距离为6,则m=____________.
(变式三)抛物线上一点A(-5,m)到焦点F(n,0)的距离为6,则抛物线的标准方程为____________________.
(变式四)已知点A(0,-1),点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到定点A的距离与点P到抛物线的准线的距离和的最小值为__________________.
由定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,后者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独地表示出来,所以应该围绕这个特点来解决问题.
由题意可知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,因为这个点到焦点的距离为3,所以它到准线的距离也是3,从而它的横坐标为2,将它代入方程得坐标为(2,±
2
).
(变式一)答案:
5
(变式二)m=±
4
(变式三)由已知焦点F(n,0)得:
焦点在x轴上,所以准线方程为x=-n.
抛物线上一点A(-5,m)到焦点F(n,0)的距离为6,所以它到准线的距离也等于6,而且点A(-5,m)在y轴的左侧,故开口向左,设方程为y2=4nx,则-n-(-5)=6,∴n=-1.所以方程应为:
y2=-4x
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