新课改3.1.1直线的倾斜角和斜率教学设计.doc
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直线的倾斜角和斜率
教学目标:
知识与技能
(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
(2)理解直线的倾斜角的唯一性.
(3)理解直线的斜率的存在性.
(4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
情感态度与价值观
(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
重点与难点:
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具:
计算机
教学方法:
启发、引导、讨论.
教学过程:
(一)直线的倾斜角的概念
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?
如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P.
(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
问:
倾斜角α的取值范围是什么?
0°≤α<180°.
当直线l与x轴垂直时,α=90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图,直线a∥b∥c,那么它们
的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如,α=45°时,k=tan45°=1;
α=135°时,k=tan135°=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.
学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三)直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示:
直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点:
(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α=90°,直线与x轴垂直;
(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
(四)例题:
例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)
分析:
已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;
而当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;
而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.
略解:
直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.
例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.
分析:
要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解:
设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y-0)/(x-0)
所以x=y
可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1),可作直线a.
同理,可作直线b,c,l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习:
P911.2.3.4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念.
(2)直线的斜率公式.
(七)课后作业:
P94习题3.11.3.
(八)板书设计:
§3.1.1……
1.直线倾斜角的概念3.例1……练习1练习3
2.直线的斜率
4.例2……练习2练习4
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