文科高中数学所有知识点(定稿).doc
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高中文科数学知识点
必修1数学知识点
集合:
1、集合的定义:
一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。
集合中的每个对象叫做
这个集合中的元素
2、集合元素的特征:
①确定性②互异性③无序性
3、集合的分类:
①有限集②无限集③空集,记作
4、集合的表示法:
①列举法②描述法③文氏图法④特殊集合⑤区间法
常用数集及其记法:
①自然数集(或非负整数集)记为正整数集记为或
②整数集记为③实数集记为④有理数集记为
5、元素与集合的关系:
①属于关系,用“”表示;②不属于关系,用“”表示
6、集合间的关系:
①包含:
用“”表示②真包含:
用“”表示③相等④不相等
7、集合的交、并、补
交集的定义:
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合,叫做与的交集,记作,
即
并集的定义:
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,叫做与的并集,记作,
即
8、全集与补集:
对于一个集合,由全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于集合的补集,记作,即
9、交集、并集、补集的运算:
(1)交换律:
(2)结合律:
(3)分配律:
.
(4)0-1律:
(5)等幂律:
(6)求补律:
(7)反演律:
U
CUA
A
10、文氏图的应用:
交集、并集、补集的文氏图表示
A
B
A∩B
A∪B
11、重要的等价关系:
12、一个由个元素组成的集合有个不同的子集,其中有个非空子集,也有个真子集
函数:
1、映射:
设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合以及到的对应法则)叫做从集合到集合的映射,记作,其中叫做的象,叫做的原象
如果在这个映射下,对于集合中的不同元素,在集合中有不同的象,而且中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做到上的一一映射
2、函数:
设是两个非空数集,那么从到的映射就叫做函数,记作,其
中,叫做自变量,是的函数值.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函
数值的集合叫做函数的值域,值域,函数三要素:
定义域、值域、对应法则;两个函数相同:
定义域和对应关系都分别相同
3、函数的表示方法:
(1)列表法
(2)图象法(3)解析法
4、分段函数:
在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数
5、
(1)函数的定义域的常用求法:
①分式的分母不等于零②偶次方根的被开方数大于等于零③对数的真数大于零
④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1
⑤三角函数正切函数中,余切函数中,
⑥如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围
(2)值域的求法:
①直接法②分离常数法③图象法④换元法⑤判别式法⑥不等式与对勾函数
6、求函数解析式的方法:
①直代②凑配法③换元法④待定系数法⑤列方程组法⑥特殊值法
7、增减函数的定义:
对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
①若当时,都有,则说在这个区间上是增函数
②若当时,都有,则说在这个区间上是减函数
8、
(1)单调性的证明:
讨论函数的增减性应先确定单调区间,用定义证明函数的增减性,有“一设,二差,三判断”三个步骤
(2)函数单调性的常用结论:
①若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数
②若为增(减)函数,则为减(增)函数
③若与的单调性相同,则是增函数;若与的单调性不同,则是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”
④奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反
9、
(1)奇、偶函数的定义:
对于函数
①如果对于函数定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
②如果对于函数定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
注意:
①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称
②是定义域上的恒等式
③若奇函数在处有意义,则
④奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于轴成轴对称图形
(2)函数奇偶性的常用结论:
①如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)
②两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数
③一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数
④两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数
基本初等函数
1、
(1)一般地,如果,那么叫做的次方根。
其中
①负数没有偶次方根②0的任何次方根都是0,记作
③当是奇数时,,当是偶数时,
④我们规定:
(1)
(2)
(2)对数的定义:
设且,对于数,若能找到实数,使得,那么数称为以为底的的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数
注:
(1)负数和零没有对数(因为)
(2)(且)
(3)将代回得到一个常用公式(4)
(3)幂函数的定义:
一般地,我们把形如函数称为幂函数.其中是自变量,是常数
2、
(1)①②
③
(2)当时:
①②③
④换底公式:
,利用换底公式推导下面的结论:
(1)
(2)
3、
(1)指数函数的定义:
函数叫做指数函数.函数的定义域是实数集
(2)对数函数的定义:
一般把函数叫做对数函数,它的自变量为,其定义域是,底数为常数
表1
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
表2
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
零点、二分法:
1、
(1)函数的零点:
①对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点
方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点
②如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根
(2)函数零点的求法:
①(代数法)求方程的实数根
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点
2、二分法:
定义:
对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法
高中数学必修2知识点
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等
表示:
用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形
(2)棱锥定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:
用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方
(3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:
用各顶点字母,如五棱台
几何特征:
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是全等的圆②母线与轴平行③轴与底面圆的半径垂直
④侧面展开图是一个矩形
(5)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是一个圆②母线交于圆锥的顶点③侧面展开图是一个扇形
(6)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:
①上下底面是两个圆②侧面母线交于原圆锥的顶点③侧面展开图是一个弓形
(7)球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:
①球的截面是圆②球面上任意一点到球心的距离等于半径
2、空间几何体的三视图
定义三视图:
正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和
(2)特殊几何体表面积公式(为底面周长,为高,为斜高,为母线):
(3)柱体、锥体、台体的体积公式:
(4)球体的表面积和体积公式:
5、空间点、直线、平面的位置关系
(1)平面
①平面的概念:
描述性说明平面是无限伸展的
②平面的表示:
通常用希腊字母表示,如平面(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面
③点与平面的关系:
点在平面内,记作;点不在平面内,记作
点与直线的关系:
点的直线上,记作:
;点在直线外,记作
直线与平面的关系:
直线在平面内,记作;直线不在平面内,记作
(2)公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:
检验桌面是否
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