数学选修2-1测试题(含答案).doc
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数学选修2-1综合测评
时间:
90分钟 满分:
120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( )
A. B.(-1,-3,2)
C. D.(,-3,-2)
解析:
向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b≠0,a∥b⇔a=λb,a=(1,-3,2)=-1,故选C.
答案:
C
2.若命题p:
∀x∈,tanx>sinx,则命题綈p:
( )
A.∃x0∈,tanx0≥sinx0
B.∃x0∈,tanx0>sinx0
C.∃x0∈,tanx0≤sinx0
D.∃x0∈∪,tanx0>sinx0
解析:
∀x的否定为∃x0,>的否定为≤,所以命题綈p为∃x0∈,tanx0≤sinx0.
答案:
C
3.设α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( )
A.l⊂α,m⊂β且l∥β,m∥α
B.l⊂α,m⊂β且l∥m
C.l⊥α,m⊥β且l∥m
D.l∥α,m∥β且l∥m
解析:
由l⊥α,l∥m得m⊥α,因为m⊥β,所以α∥β,故C选项正确.
答案:
C
4.以双曲线-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析:
由-=1,得-=1.
∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),
顶点坐标为(0,2),(0,-2).
∴椭圆方程为+=1.
答案:
D
5.已知菱形ABCD边长为1,∠DAB=60°,将这个菱形沿AC折成60°的二面角,则B,D两点间的距离为( )
A.B.C.D.
解析:
菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,则AC′⊥BD,沿AC折叠后,有BO⊥AC′,DO⊥AC,所以∠BOD为二面角B-AC-D的平面角,即∠BOD=60°.
因为OB=OD=,所以BD=.
答案:
B
6.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.B.2C.3D.6
解析:
双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,因为双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,故圆心(3,0)到直线y=±x的距离等于圆的半径r,则r==.
答案:
A
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A.B.C.D.
解析:
取,,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可求得平面AB1D1的法向量为n=(2,-2,1).故A1到平面AB1D1的距离为d==.
答案:
C
8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A.B.2C.4D.8
解析:
抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A(-4,2)在等轴双曲线C:
x2-y2=a2(a>0)上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为4.
答案:
C
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角,则α的集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内,易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.
答案:
A
10.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,若·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
解析:
由·=0,得△PF1F2为直角三角形,由tan∠PF1F2=,设|PF2|=s,则|PF1|=2s,又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=),即4c2=5s2,c=s,而|PF2|+|PF1|=2a=3s,∴a=,∴e==,故选D.
答案:
D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
11.若命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是________.
解析:
原命题的否定形式为∀x∈R,2x2-3ax+9≥0,为真命题.即2x2-3ax+9≥0恒成立,∴只需Δ=(-3a)2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.
答案:
[-2,2]
12.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则动点P的轨迹方程是__________.
解析:
由·=4得x·1+y·2=4,因此所求动点P的轨迹方程为x+2y-4=0.
答案:
x+2y-4=0
13.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为边长是1的正方形,PA=2,则AB与PC的夹角的余弦值为__________.
解析:
因为·=·(+)=·+·=1××cos45°=1,又||=1,||=,
∴cos〈,〉===.
答案:
14.过双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为__________.
解析:
由题意,如图,在Rt△AOF中,∠AFO=30°,
AO=a,OF=c,
∴sin30°===.
∴e==2.
答案:
2
三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)已知命题p:
不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:
f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
解:
由于不等式|x-1|>m-1的解集为R,
所以m-1<0,m<1;
因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,
所以5-2m>1,m<2.
即命题p:
m<1,命题q:
m<2.
因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.
当p真q假时应有m无解.
当p假q真时应有1≤m<2.
故实数m的取值范围是1≤m<2.
16.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l:
x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,是否存在实数m,使线段AB的中点在圆x2+y2=5上,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)由题意得解得
所以b2=a2-c2=1,
故椭圆的方程为x2+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,Δ=(2m)2-4×3×(m2-2)>0,m2<3,所以x0==-,y0=x0+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以2+2=5,解得m=±3与m2<3矛盾.∴实数m不存在.
17.(13分)已知点P(1,3),圆C:
(x-m)2+y2=过点A,点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线PF与圆相切.
(1)求m的值与抛物线的方程;
(2)设点B(2,5),点Q为抛物线上的一个动点,求·的取值范围.
解:
(1)把点A代入圆C的方程,得
(1-m)2+2=,∴m=1.
圆C:
(x-1)2+y2=.
当直线PF的斜率不存在时,不合题意.
当直线PF的斜率存在时,设为k,
则PF:
y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.
∵直线PF与圆C相切,
∴=.
解得k=1或k=-1.
当k=1时,直线PF与x轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去.
当k=-1时,直线PF与x轴的交点横坐标为4,
∴=4.∴抛物线方程为y2=16x.
(2)=(-1,-2),
设Q(x,y),=(x-2,y-5),则
·=-(x-2)+(-2)(y-5)
=-x-2y+12=--2y+12
=-(y+16)2+28≤28.
∴·的取值范围为(-∞,28].
18.(13分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.
(1)证明:
AD⊥CE;
(2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C-AD-E的余弦值.
解:
①
(1)证明:
作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系O-xyz.
设A(0,0,t).
由已知条件知C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),=(-2,,0),=(1,,-t),
所以·=0,得AD⊥CE.
(2)作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,如图②所示.
②设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,,0),
·=0,故CF⊥BE.
又AB∩BE=B,
所以CF⊥平面ABE,
故∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°.
由CE=,得CF=.
又CB=2,所以∠FBC=60°,
所以△ABC为等边三角形,因此A(0,0,).
作CG⊥AD,垂足为G,连接GE.
在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|.
故G,=,
=.
又=(1,,-),·=0,·=0,
所以与的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.
故二面角C-AD-E的余弦值cos〈,〉==-.
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