数列通项公式习题精选精讲.doc
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数列通项公式的求法
几种常见的数列的通项公式的求法
一.观察法
例1:
根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…
(2)(3)(4)
解:
(1)变形为:
101-1,102―1,103―1,104―1,……∴通项公式为:
(2)(3)(4).点评:
关键是找出各项与项数n的关系。
二、公式法
例2:
已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
解:
(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,
∴d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,
∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1
例1.等差数列是递减数列,且=48,=12,则数列的通项公式是()
(A)(B)(C)(D)
解析:
设等差数列的公差位d,由已知,
解得,又是递减数列,∴,,∴,故选(D)。
例2.已知等比数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式。
解析:
由题意,,又是等比数列,公比为
∴,故数列是等比数列,,∴
点评:
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。
三、 叠加法
例1:
已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。
解易知∵……
各式相加得∴
点评:
一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解。
例2.若在数列中,,,求通项。
解析:
由得,所以,,…,,
将以上各式相加得:
,又所以=
例3.已知数列满足,,求。
解:
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以,
四、叠乘法
例4:
在数列{}中,=1,(n+1)·=n·,求的表达式。
解:
由(n+1)·=n·得,=··…=所以
例4.已知数列中,,前项和与的关系是,试求通项公式。
解析:
首先由易求的递推公式:
将上面n—1个等式相乘得:
点评:
一般地,对于型如=(n)·类的通项公式,当的值可以求得时,宜采用此方法。
五、Sn法利用(≥2)
例5:
已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式。
(1)。
(2)
解:
(1)===3
此时,。
∴=3为所求数列的通项公式。
(2),当时
由于不适合于此等式。
∴
点评:
要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。
六、待定系数法:
例6:
设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn
解:
设
例6.已知数列中,,,
其中b是与n无关的常数,且。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析:
递推公式一定可表示为
的形式。
由待定系数法知:
故数列是首项为,公比为的等比数列,故
点评:
用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列:
则,(b、c为常数),若数列为等比数列,则,。
七、辅助数列法
例7:
已知数的递推关系为,且求通项。
解:
∵∴令则辅助数列是公比为2的等比数列
∴即∴
例5.在数列中,,,,求。
解析:
在两边减去,得
∴是以为首项,以为公比的等比数列,∴,由累加法得
==…===
例8:
已知数列{}中且(),,求数列的通项公式。
解:
∵∴,设,则
故{}是以为首项,1为公差的等差数列∴∴
点评:
这种方法类似于换元法,主要用于已知递推关系式求通项公式。
趣谈数列的通项问题及其思维方式
1.递推关系的形成:
直接给出,函数给出,解析几何给出,应用问题给出,方程给出。
2.给出递推关系求通项,有时可以用归纳,猜想,证明的思路;而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法;而给出铺垫(转化后的数列)的问题常常可以用证明(变换,待定系数法等)处理,一般难度不大。
3.给定初始条件和递推关系往往可以用演绎(推导)的方法求出它的通项公式,其最主要的思想方法是生成、转化、叠代。
4.给定初始条件和递推关系,有时不一定能求出通项,却也可以研究它的其他性质。
(如取值范围,比较大小,其他等价关系等,无非等与不等两类),这类问题往往有一定的难度。
本文主要采用风趣的“楼层式”讲解,更易于理解数列中求通项的问题。
将喻为楼的第一层,喻为楼的第二层,喻为楼的第三层,则数列中之间的关系式可理解为这三层之间的走动关系,那么我们可以用爬楼层的方式理解之间的相互转化关系-----我亲切地称它为“楼层式”的转化方式。
一、“二层”之间的关系式,即型
若数列的连续若干项之间满足关系,由这个递推关系及n个初始值确定的数列,叫做递推数列。
它主要给出的是“二层”中连续几项之间的递推关系式(如:
、 、、、、、、、、等类型),这是数列的重点、难点问题。
求递推数列通项的方法较多,也比较灵活,基本方法如:
迭加法、迭乘法、转化为等差、等比数列求通项法、归纳——猜想——证明法等,其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。
(一)由等差、等比演化而来的“差型”、“商型”递推关系
(1)由等差数列演化为“差型”,如:
生成:
,,…,,
累加:
=,于是只要可以求和就行。
(2)由等比数列演化为“商型”,如:
生成:
,,…,,
累乘:
,于是只要可以求积就行。
例题1:
已知数列满足:
求证:
①②是偶数(《数学通讯》2004年17期P44)
证明:
由已知可得:
又=
而=
所以,而为偶数
(二)由“差型”、“商型”类比出“和型”、“积型”:
即
例题2:
数列中相邻两项、是方程的两根,已知
求的值。
分析:
由题意:
+-----①,生成:
+-----②
由②-①得:
所以该数列的所有的奇数项成等差,所有的偶数项也成等差。
其基本思路是:
生成、相减;与“差型”的生成、相加的思路刚好相呼应。
到这里本题的解决就不在话下了。
特例:
若+,则,即该数列的所有的奇数项均相等,所有的偶数项也相等。
若------①,则-------②
由②÷①得:
所以该数列的所有的奇数项成等比,所有的偶数项也成等比。
其基本思路是:
生成、相除;与“商型”的生成、相乘的思路刚好相呼应。
特例:
若,则,即该数列的所有的奇数项均相等,所有的偶数项也相等。
(三)可以一次变形后转化为“差型”、“商型”。
如:
、、等类型。
例题3:
设是常数,且,
证明:
(2003年新课程理科,22题)
分析:
这道题目是证明型的,最简单的方法当然要数数学归纳法,现在我们考虑用推导的方法来处理的三种方法:
方法
(1):
构造公比为-2的等比数列,用待定系数法可知
方法
(2):
构造差型数列,即两边同时除以得:
,从而可以用累加的方法处理。
方法(3):
直接用叠代的方法处理:
说明:
①当时,上述三种方法都可以用;②当时,若用方法1,构造的等比数列应该是而用其它两种方法做则都比较难;③用叠代法关键是找出规律,除含外的其它式子,常常是一个等比数列的求和问题。
(四)数学归纳法:
例题4:
已知数列中,,求通项公式
解析:
利用归纳、猜想、数学归纳法证明方法也可求得通项公式。
即
…
再利用数学归纳方法证明最后的结论:
①当时,显然成立;
②假设当时,成立,
由题设知
即当时,成立
根据①②,当时,然后利用等比数列求和公式来化简这个通项。
二、“三层”之间的关系式,即型
若数列满足关系,由这个关系式及初始值确定的数列,也可理解为递推数列。
它主要给出的是“三层”中连续几项之间的递推关系式,解决途径是利用将“三层”问题全部走下“二层”,回到型或直接能求出,以下过程依同上述。
例题5:
已知数列的首项,前n项和满足关系式(t为常数且)
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)设数列的公比为,作数列,使,,求
解析:
(1)由,,得,
∴,又,
得,得
∴是一个首项为1,公比为的等比数列。
(2)由,有
∴是一个首项为1,公差为的等差数列,∴。
类比例题:
已知数列满足,求的通项公式。
解析:
记
∴
∴∴。
三、“一层”与“三层”的关系式,即型
可利用公式:
直接求出通项。
例题6:
已知数列的前n项和为①②,分别求数列的通项公式。
解析:
①当时,
当时,
经检验时也适合∴
②当时,
当时,
经检验时不适合∴
四、“二层”与“三层”的关系式,即型
若数列满足关系,由这个递推关系及初始值确定的数列,也是递推数列。
它主要给出的是“二层”与“三层”之间的递推关系式,解决途径是利用转化为纯粹的“二层”或“三层”问题,即型或型(也就是将混合型的转化为纯粹型的)
例题7:
已知数列的前n项和Sn满足
(Ⅰ)写出数列的前3项;(Ⅱ)求数列的通项公式。
解析:
(Ⅰ)---------------①
由得----------------②
由得,得--------------③
由得,得---------④
(Ⅱ)∵---------------①
∴用代得-----------⑤
由①-⑤得:
即----------------------------⑥
由叠代法得
---------------------------⑦
例题8:
数列的前n项和记为Sn,已知
证明:
数列是等比数列;(2004全国卷
(二)理科19题)
方法
(1)∵
∴整理得
所以,故是以2为公比的等比数列.
方法
(2):
事实上,我们也可以转化为,为一个商型的递推关系,
由=
得,下面易求证。
当然,还有一些转化的方法和技巧,如基本式的变换,象因式分解,取倒数等还是要求掌握的。
五、二个(或多个)“楼层”(即数列)之间的递推关系
除以上的转化方式外,还会出现多栋楼之间的联系,即不同数列之间的递推关系,对于该类问题,要整体考虑,根据所给数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例题9:
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml,同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液,将近倒入对方的容器搅匀,这称为是一次调和,记a1=10%,b1=20%,经(n-1)次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn,
(1)试用an-1、bn-1表示an、bn;
(2)求证数列{an-bn}是等比数列,并求出an、bn的通项。
分析:
该问题属于数列应用题,涉及到两个不同的数列an和bn,且这两者相互之间又有制约关系,所以不能单独地考虑某一个数列,而应该把两个数列相互联系起来。
解析:
(1)由题意
;
(2)an-bn==()(n≥2),∴{an-bn}是等比数列。
又a1-b1=-10%∴an-bn=-10%(n-1………
(1)
又∵==…=a1+b1=30%………
(2)
联立
(1)、
(2)得=-(n
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