数列总结与练习(非常好).doc
- 文档编号:2112809
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOC
- 页数:4
- 大小:213.50KB
数列总结与练习(非常好).doc
《数列总结与练习(非常好).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数列总结与练习(非常好).doc(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专题三数列
一、等差数列
(一)等差数列的概念及公式:
1、等差数列:
如果一个数列从第二项开始,每一项与前一项的差都是同一个常数,那么这样的数列叫
做等差数列,记作数列{an},首项记作a1,公差记作d.,符号表示:
an+1-an=d(n∈N*)
2、通项公式an=a1+(n-1)d。
(注:
等差数列的通项公式是一个关于n的一次函数,反之也对)。
通项公式的推广:
.
3、前n项和公式Sn=na1+d=
(利用这两个公式,对等差数列的五个其本量可知三求二)
(二)等差数列的性质:
1、若p+q=m+n,则有:
(可推广到多项).
2、等差中项:
等差数列中的三个数,则有:
3、通项公式:
an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,d≠0时是关于n的一次函数.
4、前n项和公式:
Sn=na1+d=n2+(a1-)n=An2+Bn是关于n的、常数项为零的二次函数.
5、通项与前n项和的关系:
6、数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列,公差为m2d
7、证明数列是等差数列的解答题中,常用定义法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、
填空题中的简单判断.
8、用定义证明等差数列时,常采用两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者
必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.
二、等比数列
(一)等比数列的概念及公式:
1、等比数列:
一般地,一个数列从第二项起,每一项与前一项的比都是同一个常数,即=q(n∈N*),
则这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
2、通项公式an=.通项公式的推广:
.
3、前n项和公式:
(利用这两个公式,对等比数列的五个其本量可知三求二)
(二)等比数列的性质
1、若p+q=m+n,则有:
(可推广到多项)
2、等比中项:
等比数列中的三个数,则有:
3、等比数列的每一项都不为零,当q<0时,为一个摆动数列,但奇数项同号,全部偶数项也同号。
4、证明数列是等比数列的解答题中,常用定义法,而通项公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
5、数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等比数列,公比为q2
三、通项公式的求法
(一)公式法(定义法):
适用于等差或等比数列
等差数列的通项公式:
;等比数列的通项公式:
(二)利用求(知求);
利用求一般为三步:
1.当n=1时利用S1=a1求出a12.当时,利用求出;
3.检验a1的值合不合由第二步求出的的表达式,如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
例1:
数列{an}中,Sn是其前n项和,若Sn=2an-1,(
(1)求的值
(2)求数列的通项公式an
解:
(1)当n=1时,有S1=2a1-1即a1=2a1-1求得a1=1;
(2)当时,Sn=2an-1①Sn-1=2an-1-1②;①—②有an=2an—2an-1
得,所以{an}为一以2为公比1为首项的等比数列,所以
(3)经检验,也合,所以数列{an}的通项公式为。
例2:
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则an=。
解:
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,所以=,又由S1=2a2,得a2=,
所以{an}是从第2项开始的等比数列,所以an=
(三)形如即型(累乘法)
例3:
a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*).
解:
当n≥2,n∈N*时,an=a1×××…×=1×××…×××=n,
当n=1时,也符合上式,
所以该数列的通项公式为an=n.
(四)形如即型(累加法)
例4:
a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);
解:
an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2,
所以数列的通项公式为an=(n-1)2.
(五)形如型(构造法,指构造新的等比数列)
方法如下:
设,利用待定系数法求出A
例:
5:
已知数列中,求通项.
解:
由设,解出A=-1,则
所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列
所以,即.
四、数列求和
(一)直接用等差、等比数列的求和公式求Sn
1.等差数列的前n项和公式.Sn==na1+d.
2.等比数列的前n项和公式.(注意:
公比含字母时一定要讨论).
(二)分组求和法(多用于通项为两数列的和差形式,或通项中奇偶为不同类别的形式)
例1:
等差数列{an}中,an=n+2.设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
解:
由题意可得bn=2n+n,
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=+
=(211-2)+55
=211+53
=2101.
(三)错位相减法求和(多用于一个等差与一个等比的积或商:
的求和)
例如{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求a1b1+a2b2+…+anbn的和就适用此法.做法是先将和的形式写出,再给式子两边同乘或同除以公比q,然后将两式相减,相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉).
例2:
已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn=________.
解:
Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,
所以Sn=(n-1)2n+1+2.
(四)裂项相消法求和(多用于通项是分式形式的)
把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项.
常见的拆项公式:
;
例3:
数列{an}中,an=,求前n项和为Sn=。
解:
an==-,Sn=1-+-+…+-=1-=
变式:
数列{an}中,an=,求前n项和为Sn=。
第4页共4页
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 总结 练习 非常好
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)