数列期末专题复习.doc
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必修5第二章数列复习专题
一、知识纲要
(1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列.
(2)等差、等比数列的定义.(3)等差、等比数列的通项公式.(4)等差中项、等比中项.
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法.
二、方法总结
1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想.
2.等差、等比数列中,、、、、“知三求二”,体现了方程(组)的思想、整体思想,有时用到换元法.
3.求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想.
4.数列求和的基本方法有:
公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等.
三、知识内容:
1.数列
数列的通项公式:
数列的前n项和:
2.等差数列
等差数列的定义:
等差数列的判定方法:
(1)定义法:
对于数列,若(常数),则数列是等差数列。
(2)等差中项:
对于数列,若,则数列是等差数列。
等差数列的通项公式:
说明:
该公式整理后是关于的一次函数。
等差数列的前项和:
①②
说明:
对于公式②整理后是关于的没有常数项的二次函数。
等差中项:
等差数列的性质:
3.等比数列
等比数列的概念:
等比中项:
等比数列的判定方法:
(1)定义法:
对于数列,若,则数列是等比数列。
(2)等比中项:
对于数列,若,则数列是等比数列。
等比数列的通项公式:
如果等比数列的首项是,公比是,则等比数列的通项为。
等比数列的前n项和:
当时,
等比数列的性质:
四、数列求和的常用方法
(一)倒序相加法:
将一个数列倒过来排序(倒序),当它与原数列相加时,若有因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和。
如等差数列的求和公式的推导。
(二)错位相减法:
这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前项和,其中、分别是等差数列和等比数列。
例1.求数列的前项和。
(三)分组求和法所谓分组求和法,即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和。
例2.已知数列满足,求其前项和。
(四)公式法(恒等式法):
利用已知的求和公式来求和,如等差数列与等比数列求和公式,再如
、等公式。
例3.求数列,,的和。
(五)拆项(裂项)相消法:
若数列能裂项成,
即所裂两项具有传递性(即关于n的相邻项,使展开后中间项能全部消去)。
例4.已知数列满足,求数列的前项和
(六)通项化归法:
即把数列的通项公式先求出来,再利用数列的特点求和。
例5.求数列的前项和
(七)并项法求和:
在数列求和中,若出现相邻两项(或有一定规律的两项)和为常数时,可用并项法,但要注意的奇偶性。
例6.已知数列,求数列的前项和
(八)奇偶分析项:
当数列中的项有符号限制时,应分为奇数、偶数进行讨论。
例7.若,求数列的前项和
(九)利用周期性求和:
若数列,都有(其中,为给定的自然数,),则称数列为周期数列,其中为其周期。
例8.已知正数数列的前n项和为,且对于任意的,有
(1)求证为等差数列;
(2)求的通项公式;(3)设,求的前n项和。
数列复习
一、填空题
1.在等差数列中,若++++=120,则2-=______
2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=_______
3.设Sn是等差数列的前n项和,若_____
4.依次排列的4个数,其和为13,第4个数是第2个数的3倍,前3个数成等比数列,后三个数成等差数列,这四个数分别为____________
5.正项等比数列{an}与等差数列{bn}满足且,则____(填>、<、=之一)
6.已知等比数列及等差数列,其中,公差d≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项之和为________.
7.给定正数p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q成等比数列,p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2-2ax+c=0______实数根(填“有”或“无”之一)
8.已知数列的通项公式为=,其中a、b、c均为正数,那么____(填>、<、=之一)
9.设数列{an}满足a1=6,a2=4,a3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,则数列{an}的通项公式为______.
10.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0 11.设{an}是首项是1的正项数列,且0(n=1.2,3,…),则=_____. 12已知an=(n∈N*),则数列{an}的最大项为第______项. 13.在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1.(n∈N*,n≥2),这个数列的通项公式是_________. 14.已知,把数列的各项排成三角形状; …… 记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=. 二解答题 15.是否存在互不相等的三个数,使它们同时满足三个条件: ①a+b+c=6,②a、b、c成等差数列,③将a、b、c适当排列后,能构成一个等比数列. 16.已知数列{an}的前n项和Sn满足: Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1. (1)设bn=an+1-2an,求证: 数列{bn}为等比数列; (2)设cn=,求证: {cn}是等差数列; (3)求数列{an}的通项公式及前项和的公式. 17.已知数列{an}为公差大于0的等差数列,Sn为其前n项和,且a1a6=21,S6=66, (1)求数列{an}的通项公式。 (2)若数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn。 (3)若数列{cn}是等差数列,且cn=,求常数p。 18.某地现有居民住房面积为am2,其中需要拆除的旧房面积占了一半.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房,同时每年拆除xm2的旧住房,又知该地区人口年增长率为4.9‰. (1)如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房面积x是多少? (2)依照 (1)拆房速度,再过多少年能拆除所有需要拆除的旧住房? 下列数据供学生计算时参考: 1.19=2.38 1.00499=1.04 1.110=2.6 1.004910=1.05 1.111=2.85 1.004911=1.06 19.已知{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=4. (1)求证: 数列{an}是等比数列; (2)是否存在正整数k,使>2成立. 20.设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m (1)求证: 是等比数列; (2)若数列的公比q=f(m),数列满足 (2)求证: 为等差数列,并求. 数列答案 一、填空题 1.在等差数列中,若++++=120,则2-=___24___ 2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=–6 3.设Sn是等差数列的前n项和,若_1___ 4.依次排列的4个数,其和为13,第4个数是第2个数的3倍,前3个数成等比数列,后三个数成等差数列,这四个数分别为1,2,4,6. 5.正项等比数列{an}与等差数列{bn}满足且,则_<____(填>、<、=之一) 6.已知等比数列及等差数列,其中,公差d≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列1,1,2,…,则这个新数列的前10项之和为_____978____________. 7.给定正数p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q成等比数列,p,b,c,q成等差数列,则一元二次程bx2-2ax+c=0__无____实数根(填“有”或“无”之一) 8.已知数列的通项公式为=,其中a、b、c均为正数,那么__<__(填>、<、=之一) 9.设数列{an}满足a1=6,a2=4,a3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,则数列{an}的通项公式为. 10.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0 11.设{an}是首项是1的正项数列,且0(n=1.2,3,…),则它的通项公式=______________. 12已知an=(n∈N*),则数列{an}的最大项为第___8或9____项. 13.在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1.(n∈N*,n≥2),这个数列的通项公式是. 14.已知,把数列的各项排成三角形状; …… 记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=. 二解答题 15.是否存在互不相等的三个数,使它们同时满足三个条件①a+b+c=6,②a、b、c成等差数列,③将a、b、c适当排列后,能构成一个等比数列. 解: 假设存在这样的三个数,∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c,又a+b+c=6,∴b=2.,设a=2-d,b=2,c=2+d. ①若2为等比中项,则22=(2+d)(2-d),∴d=0,则a=b=c,不符合题意. ②若2+d为等比中项,则(2+d)2=2(2-d),解得d=0(舍去)或d=-6.,∴a=8,b=2,c=-4. ③若2-d为等比中项,则(2-d)2=2(2+d),解得d=0(舍去)或d=6,∴a=-4,b=2,c=8 综上所述,存在这样的三个不相等数,同时满足3个条件,它们是8,2,-4或-4,2,8. 16.已知数列{an}的前n项和Sn满足: Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1. (1)设bn=an+1-2an,求证: 数列{bn}为等比数列; (2)设cn=,求证: {cn}是等差数列; (3)求数列{an}的通项公式及前项和的公式. 证明 (1)Sn+1=4an+2,=4an+1+2,相减得an+2=4an+1-4an,所以an+2-2an+1=2(an+1-2an). 又bn=an+1-2an,所以bn+1=2bn.又S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,所以a2=5,b1=3,所以bn≠0,=2.所以{bn}是以3为首项,2为公比的等比数列.∴bn=3×2n-1. (2)由 (1)知bn=3×2n-1.因为cn=,所以cn+1
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