数列中的奇偶项问题.doc
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数列中的奇偶项问题.doc
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数列中的奇偶项问题
例1、已知数列满足:
,设.
(1)求并证明:
(2)①证明:
数列等比数列;②若成等比数列,求正整数k的值.
例2、设等差数列的前n项和为,且.数列的前n项和为,且,.
(I)求数列,的通项公式;
(II)设,求数列的前项和.
3、一个数列{an},当n是奇数时,an=5n+1;当n为偶数时,an=,则这个数列的前2m项的和是________.
练习
1.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为( )
A.10B.20C.30D.40
2、等比数列的首项为,项数是偶数,所有的奇数项之和为,所有的偶数项之和为,则这个等比数列的项数为
(A)(B)(C)(D)
3、已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10=________.
4、已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则=( )
A.2B.4C.5D.
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),设Sn是数列{an}的前n项和,则S2014=( )
A.22014-1B.3×21007-3C.3×21007-1D.3×21007-2
6.于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.
7、(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明Sn+≤(n∈N*).
8、已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
①求数列{an}的通项公式;
②是否存在正整数n,使得Sn≥2013?
若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
解:
(1)
(2)①因为所以数列是以3为首项,2为公比的等比数列.
②由数列可得,,则,
因为成等比数列,所以,令,得,解得,得.
解:
(Ⅰ)由题意,,得.…………3分
,,
,两式相减,得
数列为等比数列,.…………7分
(Ⅱ).当为偶数时,
=.
当为奇数时,(法一)为偶数,
(法二)
.
解析:
当n为奇数时,{an}是以6为首项,以10为公差的等差数列;当n为偶数时,{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列.所以,
S2m=S奇+S偶=ma1+×10+=6m+5m(m-1)+2(2m-1)
=6m+5m2-5m+2m+1-2=2m+1+5m2+m-2.
解析:
选A 设这个数列有2n项,则由等差数列的性质可知:
偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10.
解析:
∵an+an+1=bn,an·an+1=2n,∴an+1·an+2=2n+1,∴an+2=2an.
又∵a1=1,a1·a2=2,∴a2=2,∴a2n=2n,a2n-1=2n-1(n∈N*),∴b10=a10+a11=64.
解析:
选B 依题意得==2,即=2,故数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项、2为公比的等比数列,因此=4.
解析:
选B 由===2,且a2=2,得数列{an}的奇数项构成以1为首项,2为公比的等比数列,偶数项构成以2为首项,2为公比的等比数列,故S2014=(a1+a3+a5+…+a2013)+(a2+a4+a6+…+a2014)=+=3×21007-3.
对比:
an+1/an=2n则用累乘法,
解析:
∵an+1-an=2n∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-2.
[解题指导]
(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;
(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.
[解]
(1)设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q==-.
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为an=×n-1=(-1)n-1·.
(2)证明:
Sn=1-n,Sn+=1-n+=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S1+=.
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=.
故对于n∈N*,有Sn+≤.
解析:
①设数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
②由①有Sn==1-(-2)n.
若存在n,使得Sn≥2013,则1-(-2)n≥2013,
即(-2)n≤-2012.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2012,
即2n≥2012,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
点评:
当数列涉及底数是负数时,要对指数n分奇偶讨论。
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- 数列 中的 奇偶 问题