排列组合典型题汇总.doc
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排列组合典型题汇总.doc
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排列、组合题型与解题方法
撰写人:
胡清涛
一:
可重复排列求幂法
1、有4名同学报名参加,数学、物理、化学三科竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?
解析:
本题题意是让4同学选择3个科目,人是主动的,科目是被选的是被动的,于是完成这件事,需要4个步骤
第一步:
同学甲从3个科目中选择一科有3种选择。
第二步:
同学乙从3个科目中选择一科有3种选择。
第三步:
同学丙从3个科目中选择一科有3种选择。
第四步:
同学丁从3个科目中选择一科有3种选择。
完成这件事共有种方法
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,多少种不同的结果?
解析:
每科的冠军都产生于这4名同学中,所以3科竞赛的冠军是主动的,而4名同学是被选的,是被动的。
于是完成这件事,分3个步骤
第一步:
数学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第二步:
物理科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第三步:
化学科目的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
完成这件事共有种方法
解决这种问题的关键在于分清哪个是主动哪个是被动,再按照分步计数原理的方法将每个步骤中的方法数相乘,从而得到所求结果。
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
4、把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
5、8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有多少种?
6、一个六位的密码,每一位都是由0到9十个数字中的一个所构成,一共能组成多个密码?
二:
多排问题单排法
12、6个人排成前后两排,每排3个元素,有多少种不同的排法?
解析:
6个人站成两排每排三个,可以看做是将6个人排成一列,再从中间断成两段,分为前后两排,因此:
总的排法数为种
另解:
第一步排列前排:
从6个人中选出3个人排列,即
第二步排列后排:
剩余的3个人排列,即
总的排法数为种
13、6个人排成前后两排,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?
解析:
第一步前排:
从6个人中选出2个人排列,即
第二步后排:
剩余的4人排列,即
总的排法数为相当于6人排成一直排.
14、把15人分成前后三排,每排5人,有多少种不同的排法?
解析:
第一步前排:
第二步中排:
第三步后排:
总排法数为种
15、把15人分成前、中、后三排,前排4人,中排5人,后排6人,有多少种不同的排法?
解析:
第一步前排:
第二步中排:
第三步后排:
总排法数为种
以上问题都是求“将n个元素排成若干排”的问题,有上面各题的难
得出这样的结论:
“无论排成几排,无论每排中元素有几个,都可以当做
将这n个不同的元素排成一个直排来看待”
16、8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,,有多少种不同排法?
17、8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
解析:
先按照排成一排来看待,则相当于有八个位置。
如图:
————————︱————————
左边4个位置相当于前排,右边4个位置相当于后排,先从前排的4个位置中选择两个位置排列这两个人,即;再从右边的4个位置选择一个位置排列另外1人,即;其余的5个人随便排列,即
总的排法数为
三、相同元素的分配问题隔板法
18、10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:
本题题意就是将10个名额,分给7个班级,每班都能分到名额。
由于名额与名额之间无任何差别。
因此本题即是10个相同的元素分成7堆。
具体操作如下:
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
这10个小圆圈就相当于10个相同的元素,可以想象将木板插在这10个元素之间空当中,就可以将这10个元素分成若干份。
本题中要求分成7分,所以只需要6块木板就可以了,10个元素之间形成了9个空,所以只需将这6块木板插到这9个空中即可。
一种木板的插入方式就对应着一种名额的分配方式。
因此有多少种插法就有多少种分配方法。
于是:
不同分配方案共有种。
能够用“隔板法“解决的拍列组合问题是:
“对n个相同的元素分成m份”。
这里要特别注意的是:
“所研究的元素必须是相同的。
”
19、某校要组建一个12人的篮球队,这12个人分别由8个班的学生组成,每班至少一名,共有多少种选派方案?
20、6名同学带13瓶百事去春游,每人至少带一瓶,有多少种不同的带法?
21、方程正整数解有多少组?
22、把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
解析:
由题意可知,1号盒里至少放1个球;2号盒里至少放2个球;3号盒里至少放3个球。
要保证上述条件只需先将1号盒里放0个球;2号盒里放1个球;3号盒里放2个球,其余的17个球在进行隔板,即:
将17个球用2块木板隔成3分。
共有种不同的放法。
23、25个相同的小球,分别投到编号为1、2、3、4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于盒子的编号数,有多少种不同的方法?
四、相邻问题捆绑法
24、A、B、C、D、E五人站成一排,其中 A、B必须相邻,有多少种不同的排法?
解析:
既然A、B必须相邻,则把它们捆绑到一起看成是一个元素,这样一来五个人可以看成是4个元素排列,但是在捆绑A、B的时候,二者也有顺序,所以在捆绑的同时也要把A、B进行排列。
总的排法数为
25、A、B、C、D、E五人站成一排,其中 A、B必须相邻,且A必须在B的左边,有多少种不同的排法?
解析:
分析方法同上题相同,唯一不同的是在本题中,捆绑A、B的同时不需要对A、B进行排列,因为A必须在B的左边,这实际上已经确定了A、B的顺序,所以本题直接将5个人看成是4个不同的元素排列。
总的排法数为
在解决两个或多个元素相邻问题时我们选择“捆绑法”,在捆绑的时候
要注意,“被捆绑的的元素与元素之间是否有顺序,如果有则需要在捆
绑的同时,先将元素排列。
”
26、3名男生5名女生站成一排,3名男生必须站在一起,有多少种不同的排法
27、4名男生和3名女生并坐在一起,男生相邻,女生也相邻,共有多少种不同的坐法?
五、不相邻问题插空法
28、七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,有多少种不同的排法?
解析:
由于甲乙两人不相邻,除去甲乙还有5个人,先将这5个人排列,此时5个人之间包括两端共有6个空位,将甲乙两个元素分别插入到这6个空中即可。
总排法数为
29、4名男生,3名女生,站成一排,3名女生互不相邻,有多少种不同排法?
解析:
仿照上题,3名女生不相邻,则先排列4名男生,4名男生之间包括两端共有5个空位,再将3名女生分别插入到这5个空位中。
总排法数为
在解决两个或多个元素不相邻问题时我们选择“插空法”,需要注意的是:
“在插空时是用不相邻的元素去插其他元素的空”
30、4名男生,3名女生,站成一排,男女生相间,有多少种不同排法?
解析:
“男女生相间”即是“男生不相邻女生也不相邻”
先排4个男生;再把3个女生插空,但此时的插空同上题不同的是,女生能可以选择的空位只能是中间的3个空,不能选择两端的两个空,因为如果选择了两端的两个空位,必然会使其中的两名男生相邻,即。
总的排法数为
本题中应当注意的是,“男生女生相间”的意思是“男生不相邻且女生也不相邻”,此时插空时要注意不能选择两端的两个空位。
31、4名男生,4名女生,站成一排,男女生相间,有多少种不同排法?
解析:
本题也是男女生相间问题,但与上题不同的是:
男生人数与女生人数相等,则先把男生和女生分别排列,再插空。
如下图:
男男男男
女女女女
或
女女女女
男男男男
总的排法数为
如果男生女生人数相同时,要求那女相间,要注意有两种不同的情况,一是男生打头,二是女生打头。
31、用1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数,且1、2不
相邻,这样的五位数共有多少个?
32、班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,有多少种不同排法?
33、在马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盏路灯,为了节约用电需要关掉其中的3盏路灯,但是不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,共有多少种不同的关灯方法?
解析:
关掉其中的三盏,则还有六盏灯亮着,那么我们只需用三盏关掉的路灯,去插亮着的六盏灯的空,由于要求不能关掉两端的两盏,所以,只能选择六盏亮着的路灯之间的5个空,另外我们要知道,关掉的路灯之间没有区别,亮着的路灯之间也没有区别,所以灯与灯之间没有顺序,于是:
关灯的方法共有
34、3个人坐在一排8把椅子上,若每个人的两边都有空位,共有多少种不同的坐法?
解析:
解法1、先将3个人(各带一把椅子)全排列有A,○*○*○*○,
在四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A种,所以每个
人左右两边都空位的排法有=24种.
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,
*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种.
六:
捆绑法和插空法的综合问题
35、4名男生和3名女生站成一排,要求3名女生中有2名站在一起,有多少种不同的站法?
36、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
37、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求4个空车位中的3个空车位连在一起,不同的停车方法有多少种?
38、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种?
39、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈
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