排列组合专题复习及经典例题详解.doc
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排列组合专题复习及经典例题详解
1.学习目标
掌握排列、组合问题的解题策略
2.重点
(1)特殊元素优先安排的策略:
(2)合理分类与准确分步的策略;
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;
(4)正难则反、等价转化的策略;
(5)相邻问题捆绑处理的策略;
(6)不相邻问题插空处理的策略.
3.难点
综合运用解题策略解决问题.
4.学习过程:
(1)知识梳理
1.分类计数原理(加法原理):
完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法……在第n类型办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步计数原理(乘法原理):
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……,做第n步有种不同的方法;那么完成这件事共有种不同的方法.
特别提醒:
分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;
分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏.
3.排列:
从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,时叫做选排列,时叫做全排列.
4.排列数:
从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
5.排列数公式:
排列数具有的性质:
特别提醒:
规定0!
=1
6.组合:
从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.
7.组合数:
从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,用符号表示.
8.组合数公式:
组合数的两个性质:
①;②
特别提醒:
排列与组合的联系与区别.
联系:
都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:
前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
(2)典型例题
考点一:
排列问题
例1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
【解析】:
(1)方法一:
要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:
方法二:
由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:
方法三:
若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:
(2)方法一:
先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法,根据分步乘法计数原理,共有方法二:
先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有
(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有种站法,故共有站法为
此外,也可用“间接法”,6个人全排列有种站法,由
(2)知甲、乙相邻有种站法,所以不相邻的站法有.
(4)方法一:
先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种,然后将甲、乙按条件插入站队,有种,故共有站法.
方法二:
先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法,最后对甲、乙进行排列,有种方法,故共有站法.
(5)方法一:
首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种,再让其他4人在中间位置作全排列,有种,根据分步乘法计数原理,共有站法.
方法二:
首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有种站法,由分步乘法计数原理共有站法.
(6)方法一:
甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,甲在左端而且乙在右端的站法有种,故甲不站左端、乙不站右端共有-2+=504(种)站法.
方法二:
以元素甲分类可分为两类:
①甲站右端有种站法,②甲在中间4个位置之一,而乙又不在右端有种,故共有+=504(种)站法.
考点二:
组合问题
例2.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
【解析】:
(1)选法为.
(2)方法一:
至少1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分类计数原理可得总选法数为.
方法二:
因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.
从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种.
所以“至少有1名女运动员”的选法.
(3)方法一:
可分类求解:
“只有男队长”的选法为;“只有女队长”的选法为;“男、女队长都入选”的选法为;所以共有2+=196(种)选法.
方法二:
间接法:
从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.
所以“至少1名队长”的选法为-=196种.
(4)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法;
不选女队长时,必选男队长,共有种选法,而且其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有种.
考点三:
综合问题
例3.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?
【解析】:
(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?
”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有;
(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.
(3)确定2个空盒有种方法;4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类:
第一类有序不均匀分组有种方法;
第二类有序均匀分组有种方法.
故共有种.
当堂测试
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 ( )
A.70种 B.80种 C.100种 D.140种
【解析】:
分为2男1女,和1男2女两大类,共有种.
解题策略:
合理分类与准确分步的策略.
2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.48种 B.12种 C.18种 D.36种
【解析】:
合理分类,通过分析分为
(1)小张和小赵恰有1人入选,先从两人中选1人,然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有种选法.
(2)小张和小赵都入选,首先安排这两个人做前两项工作有种方法,然后在剩余的3人中选2人做后两项工作,有种方法.故共有种选法.
解题策略:
①.特殊元素优先安排的策略.
②.合理分类与准确分步的策略.
③.排列、组合混合问题先选后排的策略.
3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.48 B.12 C.180 D.162
【解析】:
分为两大类:
(1)含有0,分步:
①从另外两个偶数中选一个,有种方法,②.从3个奇数中选两个,有种方法;③.给0安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有种方法;④.其他的3个数字进行全排列,有种排法,根据乘法原理共有种方法.
(2)不含0,分步:
①偶数必然是2和4;②奇数有种不同的选法,③然后把4个元素全排列,共种排法,不含0的排法有种.根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个
4.甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学,2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
【解析】:
4人中恰有1名女同学的情况分为两种,即这1名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法共有种选法.
解题策略:
合理分类与准确分步的策略.
5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6 B.12 C.30 D.36
【解析】:
法一:
甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:
⑴.甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有种.
⑵.甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:
①从4门中先任选一门作为相同的课程,有种选法,②甲从剩余的3门中任选1门,乙从最后剩余的2门中任选1门,有种选法,由分步计数原理此时共有种.
最后由分类计数原理,甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.
故选C.
法二:
可以先让甲、乙任意选择两门,有种方法,然后再把两个人全相同的情况去掉,两个人全相同,可以将甲与乙看成为同一个人,从4门中任选两门有种选法,所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法.
解题策略:
正难则反,等价转化的策略.
6.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )A.324 B.328 C.360 D.648
【解析】:
第一类个位是0,共种不同的排法;第二类个位不是0,共种不同的解法.故共有+=328(个).
解题策略:
合理分类与准确分步的策略.
7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的总数为( )
A.85 B.56 C.49 D.28
【解析】:
合理分类,甲、乙全被选中,有种选法,甲、乙有一个被选中,有种不同的选法,共+=49种不同的选法.
解题策略:
(1)特殊元素优先安排的策略;
(2)合理分类与准确分步的策略.
8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为( )A.4 B.18 C.24 D.30
【解析】:
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有种不同的分法,然后三组进行全排列共种不同的方法;最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉,共种不同的排法.所以总的排法为-=30种.
注意:
这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题.
解题策略:
⑴.正难则反、等价转化的策略
⑵.相邻问题捆绑处理的策略
⑶.排列、组合混合问
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