排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版.doc
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排列组合问题的常用方法总结1
知识内容
1.基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理:
做一件事,完成它有类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种方法,……,在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.又称加法原理.
⑵乘法原理
分步计数原理:
做一件事,完成它需要分成个子步骤,做第一个步骤有种不同的方法,做第二个步骤有种不同方法,……,做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.又称乘法原理.
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.
2.排列与组合
⑴排列:
一般地,从个不同的元素中任取个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)
排列数:
从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
排列数公式:
,,并且.
全排列:
一般地,个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的一个全排列.
的阶乘:
正整数由到的连乘积,叫作的阶乘,用表示.规定:
.
⑵组合:
一般地,从个不同元素中,任意取出个元素并成一组,叫做从个元素中任取个元素的一个组合.
组合数:
从个不同元素中,任意取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中,任意取出个元素的组合数,用符号表示.
组合数公式:
,,并且.
组合数的两个性质:
性质1:
;性质2:
.(规定)
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法:
先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
位置优先法:
先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;
2.分类分步法:
对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.
3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
4.捆绑法:
某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.
5.插空法:
某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.
6.插板法:
个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有.
7.分组、分配法:
分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成堆(组),必须除以!
,如果有堆(组)元素个数相等,必须除以!
8.错位法:
编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:
①元素分析法:
以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②位置分析法:
以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③间接法:
先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.
2.具体的解题策略有:
①对特殊元素进行优先安排;
②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;
④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;
⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;
⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.
⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.
典例分析
直接法
(优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论)
【例1】从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻译有人参加,交通和礼仪各有人参加,则不同的选派方法共有.
【例2】北京《财富》全球论坛期间,某高校有名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
A.B.C.D.
【例3】在平面直角坐标系中,轴正半轴上有个点,轴正半轴有个点,将轴上这个点和轴上这个点连成条线段,这条线段在第一象限内的交点最多有()
A.个B.个C.个D.个
【例4】一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【例5】一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.
⑴从口袋内取出个球,共有多少种取法?
⑵从口袋内取出个球,使其中含有个黑球,有多少种取法?
⑶从口袋内取出个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【例6】有名划船运动员,其中人只会划左舷,人只会划右舷,其余人既会划左舷也会划右舷.从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法?
【例7】若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为()
A.B.C.D.
【例8】从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【例9】某城市街道呈棋盘形,南北向大街条,东西向大街条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.
【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用步走完,则上楼梯的方法有______种.
【例11】亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?
【例12】设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为()
A.B.C.D.
【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过次跳动质点落在点(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法种数为 .
【例14】从名男同学,名女同学中选名参加体能测试,则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)
【例15】在的边上有四点,边上有共个点,连结线段,如果其中两条线段不相交,则称之为一对“和睦线”,和睦线的对数共有:
()
A.B.C.D.
【例16】从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种?
⑴、必须当选;
⑵、都不当选;
⑶、不全当选;
⑷至少有2名女生当选;
⑸选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
【例17】甲组有名男同学,名女同学;乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例18】从名大学毕业生中选人担任村长助理,则甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()
A.B.C. D.
【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()
A. B. C. D.
【例20】要从个人中选出个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参加,问共有多少种不同的选法?
【例21】有四个停车位,停放四辆不同的车,有几种不同的停法?
若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上,共有多少种不同的停法?
【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排到周一或周二,学生乙不能安排在周五,则他们不同的值日安排有()
A.288种 B.72种 C.42种 D.36种
【例23】某班有名男生,名女生,现要从中选出人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于人的选法为()
A.B.
C.D.
【例24】用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位,数字6不在千位.
【例25】甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:
“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”,对乙说:
“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,人的名次排列共有_______(用数字作答)种不同情况.
【例26】某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例27】用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为()
A. B. C. D.
【例28】某电视台连续播放个不同的广告,其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有()
A.种B.种C.种D.种
【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,
要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中,甲、乙两人不去
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