换元法理论.doc
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换元法理论.doc
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换元法:
肖婕
第一步:
同一函数
f(t)=t2;f(x)=x2;f(m)=m2;三个函数是一个函数
原因:
与自变量的位置的表达字母无关
第二步:
用换元法构造新函数
1、f(x)=x2f(t)=t2;
g是新函数的法则
f不是新函数的法则
令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=(x+1)2
新函数是g(x),新函数的自变量是x,新函数的运算法则是g而不是f
f(x+1)中的x+1中的x不是原函数的自变量;因为t=x+1,所以x+1是法则f的自变量t取得一个值是x+1。
即:
新函数g(x)=(x+1)2
2、例如:
以后看到:
原函数f(x+1)换元法写成f(t),t=x+1,构造新函数g(x)=f(x+1)
①原函数f(x+1)=f(t)=,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=
②原函数f(x+1)=2x+1f(t)=2t,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=2x+1
③原函数f(x+1)=log2(x+1)f(t)=log2t,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=log2(x+1)
④原函数f(x+1)=(x+1)3f(t)=t3,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=(x+1)3
⑤原函数f(x+1)=sin(x+1)f(t)=sint,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=sin(x+1)
⑥原函数f(x+1)=cos(x+1)f(t)=cost,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=cos(x+1)
⑦原函数f(x+1)=tan(x+10f(t)=tant,令t=x+1,则新函数g(x)=f(x+1)=tan(x+1)
归纳:
可见:
原本的运算:
例如:
y=x2,中
正运算;都是一步运算
换元法:
则是把一步运算,化成两部运算。
第三步:
换元中的运算
例如:
f(x+1)=(x+1)2
①、写出结构套路图:
见右图
②、三个位置摆关系(有关系摆关系,无关系摆字母)
③、把条件摆上去,x,t,y知谁摆谁
④、选择运算:
常见一下结构形式
第一类:
正方向(见右①图)
第二类:
逆方向(见右2图)
第三类:
中间到两边(见右3图)
第四类:
两边到中间(见右4图)
第四步:
换元法的变换问题(共4类):
(其他是运算)
例如:
f(x+1)=(x+1)2;原函数f(t),t=x+1,
用换元法构造一个新函数:
g(x)=f(x+1)=(x+1)2;
则原函数f(t)=t2;新函数g(x)=f(x+1)=(x+1)2;
这个位置是y2
这个位置是y1
因为是水平变换:
所以y1=y2,即函数值相同
运算法则都是f,即运算法则相同
t与x+1的位置相同,即自变量的位置相同
因此左右平移抓住三句话:
函数值相同;运算法则相同;自变量的位置相同
为了以示区别原函数中的x与新函数中的自变量x的区别,
原函数的自变量用字母t表达,新函数的自变量用x表达:
原自变量t与新自变量x的关系即:
t=x+1,
最后:
特别注意
如果变换过程既有水平变换又有竖直变换,先水平变换,再竖直变换。
顺序一般不要变,让学生形成严格的流程。
以免变换过程出现混乱。
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