高二数学上册81《向量的坐标表示及其运算》教案五沪教版Word下载.docx
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由上面这个式子,我们可以看到:
平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合,这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.
2.向量的坐标表示
思考2:
对于平面直角坐标系内的任意一个向量,我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗?
如下图左.
显然,如上图右,我们一定能够以原点O为起点作一位置向量,使.于是,可知:
在平面直角坐标系内,任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量.由于这一点,我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合,所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即:
==
上式中基本单位向量前面的系数x,y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标.由于基本单位向量是固定不可变的,为了简便,通常我们将系数x,y抽取出来,得到有序实数对(x,y).可知有序实数对(x,y)与向量的位置向量是一一对应的.因而可用有序实数对(x,y)表示向量,并称(x,y)为向量的坐标,记作:
=(x,y)
[说明](x,y)不仅是向量的坐标,而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标!
当将向量的起点置于坐标原点时,其终点A的坐标是唯一的,所以向量的坐标也是唯一的.这样,我们就将点与向量、向量与坐标统一起来,使复杂问题简单化.
显然,依上面的表示法,我们有:
.
例1.(课本例题)如图,写出向量的坐标.
解:
由图知
与向量相等的位置向量为,
可知
[说明]对于位置向量,它的终点的坐标就是向量的坐标;
对于起点不在原点的向量,我们是通过先找到与它相等的位置向量,再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么,有没有不通过位置向量,直接就写出任意向量的坐标的方法呢?
答案是肯定的,而且很简便,但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算:
3.向量的坐标表示的运算
我们学过向量的运算,知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算,那么,在学习了向量的坐标表示以后,我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢?
设是一个实数,
由于
所以
于是有:
[说明]上面第一个式子用语言可表述为:
两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差),两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差),可笼统地简称为:
两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差);
同样,第二个式子用语言可表述为:
数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积,数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积,也可笼统地简称为:
数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.
4.应用与深化
下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量,如何直接写出任意向量的坐标的问题:
例2.如下图左,设、是平面直角坐标系内的任意两点,如何用P、Q的坐标来表示向量?
如上图右,向量
从而有
[说明]上面这个式子告诉我们:
平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差,纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差,可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.
例3.(课本例题)如图,平面上A、B、C三点的坐标分别为、、.
(1)写出向量的坐标;
(2)如果四边形ABCD是平行四边形,求D的坐标.
(1)
(2)在上图中,因为四边形ABCD是平行四边形,所以
设点D的坐标为,于是有
又
故
由此可得解得
因此点D的坐标为.
练习:
(1)请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻,健美操队员C的位置问题.即:
在某时刻,四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左,队员A位于距EF边2米距FG边1米处,队员B在距EF边6米距FG边3米处,队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗?
以点F为坐标原点,以边FG为x轴,以边FE为y轴,建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD是平行四边形可得:
又
故
于是x=8,y=7,即C(8,7).
答:
队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.
(2)在某时刻,四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处,队员B在距EF边6米距FG边3米处,队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内(包括边界)某一位置.你能确定此时队员D可能的位置区域吗?
以点F为坐标原点,以边FG为x轴,以边FE为y轴,建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD是平行四边形可得:
又D(x,y),所以可得C(x+4,y+2)
由题意
于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分(除去点B):
例4.已知向量与,求的坐标.
解:
因为,
所以
三.巩固练习
1.如图,写出向量的坐标.
2.已知,若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是;
若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是.
3.已知向量与,求及的坐标.
1.由题意:
2.设起点的坐标是(x,y),则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得:
(x,y)=(3,-1),即起点的坐标是(3,-1);
设终点的坐标是(x,y),则(x,y)-(2,1)=(-1,2),解得:
(x,y)=(1,3),即起点的坐标是(1,3).
3.=3
=3
[另法]:
四.课堂小结:
本节课我们讲了哪些内容?
(请学生作答)
1.向量的正交分解(是如何对向量进行正交分解的?
)
2.向量的坐标表示(是用什么表示向量的坐标的?
3.向量的坐标运算(运算法则是什么?
五.作业布置
1.已知则与的坐标分别为()
(A)(3,3),(3,-3)(B)(3,3),(1,-3)
(C)(1,3),(3,3)(D)(1,3),(3,-3)
2.若点A坐标为(2,-1),的坐标为(4,6),则B点的坐标为()
(A)(-2,-7)(B)(2,7)
(C)(6,5)(D)(-2,5)
3.已知
若则x=,y=.
4.已知,且的坐标所表示的点在第四象限,则x的取值范围是.
5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证:
6.已知
并且求x,y的值.
7.已知
,且求的值.
六.教学设计说明及反思
在本节课的设计上,我是先用一个实际的情境问题引入,引起学生学习的兴趣,同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化,使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性,并培养学生数学的应用意识,体会到数学是有用的,是有价值的;
另外,在新授课内容的设计上,主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计,主要有四个板块:
一是向量的正交分解,二是向量的坐标表示,三是向量的坐标运算,四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手,然后通过先处理位置向量的正交分解,再处理任意向量的正交分解;
向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示,最后在研究了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示,这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量,然后只要研究位置向量就能得到原来向量的性质的思路略有不同,这样设计的出发点主要是希望能够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学习过程,使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题,从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上,我主要设计了五个问题,第一个问题是例1,置于向量的坐标表示这一板块之中,其目的是为了在初次接触坐标表示时,加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的理解,以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧张或疲劳情绪,为下面的学习作点准备;
第二个问题是例2,解决任意向量的坐标表示问题,这也是这一节课必须要解决的一个重点问题;
第三个问题是例3,其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用,强化对这一公式的记忆与掌握,同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫;
第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化;
第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时,最后又设置了三个小题,作为课内练习,机动使用.
整个一节课,如果用一句话概括基本的设计思路,那就是:
低起点(使学生容易入手)、小步走(使学生容易理解)、重视过程(重视知识的发生过程及重视学生的学习过程)、强化训练(训练是掌握与提高的有效途径).
2019-2020年高二数学上册8.1《向量的坐标表示及其运算》教案八沪教版
一、教学内容分析
向量的概念对学生而言并不陌生,在物理中早有矢量的学习,所以入门并不困难。
同时向量又是数形结合的重要桥梁,在解析几何和立体几何中都有重要的应用,所以向量的一些基本概念及基本运算的掌握至关重要。
二、教学目标设计
1.理解向量的概念,会区分标量与向量。
2.理解向量的模、相等的向量、零向量、负向量、平行的向量等概念。
3.掌握向量加法、减法的概念,会利用平行四边形法则或三角形法则作两个向量的和。
4.理解向量加法所满足的运算率。
5.理解向量减法是向量加法的逆运算。
三、教学重点及难点
重点:
向量的概念、向量加法的概念
难点:
平行四边形法则和三角形法则
四、教学用具准备
直尺、投影仪、多媒体
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、向量
1.设置情境
师:
(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:
向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?
生:
不能,因为没有给定发射的方向.
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.
对!
力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.
(1)意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量等
(2)向量的表示方法:
①几何表示法:
点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
符号表示:
以A为起点、B为终点的有向线段记作(注意起讫).
②字母表示法:
可表示为(印刷时用黑体字)
例用1cm表示5nmail(海里)
(3)模的概念:
向量的大小——长度称为向量的模。
记作:
||,模是可以比较大小的
注意:
①数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.探索研究(学生自学概念)
(1)介绍向量的一些概念
长度为零的向量叫什么向量?
如何表示?
长度为1的向量叫做什么向量?
是不是只有一个?
(学生看书回答)
长度为零的向量叫做零向量,表示为:
0;
长度等于1的向量叫做单位向量,有许多个,每个方向都有一个.
满足什么条件的两个向量是相等向量?
符号如何表示?
单位向量是相等向量吗?
如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b单位向量不一定是相等向量,单位向量的方向不一定相同.
有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
平行.
我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?
如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点,这时它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上.
由此,我们把平行向量又叫做共线向量.
(2)例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
(1)平行向量的方向一定相同?
(2)不相等的向量一定不平行.
(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的充要条件是什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
(1)根据定义:
平行向量可以方向相反,故命题
(1)为假;
(2)平行向量没有长、短要求,故命题
(2)为假;
(3)只有零向量;
(4)零向量;
(5)平行向量;
(6)模相等且方向相同;
(7)不一定,只要它能被平移成共线就行.
说明:
零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.
【例2】如图1,设是正六边形的中心,分别写出图中与向量、,相等的向量.
(投影)在上题中
变式一,与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二,是否存在与向量长度相等,方向相反的向量?
(存在)
变式三,与向量共线的向量有哪些?
(有、和)
3.演练反馈(投影)
(1)下列各量中是向量的是()
A.动能B.重量
C.质量D.长度
(2)等腰梯形中,对角线与相交于点,点、分别在两腰、上,过且,则下列等式正确的是()
A.B.
C.D.
(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案:
(1)B;
(2)D;
(3)相等,相反
4.总结提炼
(1)描述一个向量有两个指标:
模、方向.
(2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关.
(3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性.
二、向量的加法
请同学看这样一个问题:
(投影)
(1)由于大陆和台湾没有直航,因此xx年春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和时什么?
(2)如图1
(2),飞机从到,再改变方向从到,则两次位移的和是,应该是_____________.
(3)如图1(3),船的速度是,水流速度是则两个速度的和是应该是___________.
(1)这人两次的位移的和是从台北到上海;
(2)飞机两次位移的和是;
(3)两个速度的和是.
很好!
两人向量的和仍是一个向量.本节课就来研究两个向量的和(板书课题:
向量的加法).
2.探索研究
(1)向量的加法的定义:
已知向量,在平面内任取一点A,作,则向量叫做
向量的和。
即
零向量与任意向量,有
(2)两个向量的和向量的作法:
①三角形法则:
两个向量“首尾”相接
注意:
1°
三角形法则对于两个向量共线时也适用;
2°
两个向量的和向量仍是一个向量
例1.已知向量,求作
向量
作法:
在平面内任取一点O,作
,则
②平行四边形法则:
由同一点A为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形ABCD,则以A为起点
的向量就是向量的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则
平行四边形法则对于两个向量共线时不适用
3.向量和与数量和的区别:
①当向量不共线时,的方向与不同向,且
②当向量同向时,的方向与同向,且
当向量反向时,若,则的方向与同向,且
;
若,则的方向与反向,且
4.向量的运算律:
①交换律:
证明:
当向量不共线时,如上图,作平行四边形ABCD,使,
则,
因为,
所以
当向量共线时,若与同向,由向量加法的定义知:
与同向,且
与同向,且,所以
若与反向,不妨设,同样由向量加法的定义知:
与同向,且
与同向,且,所以
综上,
②结合律:
学生自己验证。
由于向量的加法满足交换律和结合律,对于多个向量的加法运算就可以按照任意
的次序与任意的组合来进行了
例如:
例2.如图,一艘船从A点出发以的速度向垂直于对
岸的方向行驶,同时喝水的流速为,求船实际航行的速
度的大小与方向。
设表示船垂直于对岸的速度,表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度
在中,,
因为
船实际航行的速度的大小为,方向与水流速间的夹角为
4.演练反馈(投影)
(1)在平行四边形中,,则用、表示向量的是()
A.+B.C.0D.+
(2)若为△内一点,,则是△的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
(3)下列各等式或不等式中一定不能成立的个数()
①
②
③
④
A.0B.1C.2D.3
5.总结提炼
(1)是一个向量,在三角形法则下:
平移向量,使的起点与的终点重合,则就是以的起点为起点,的终点为终点的新向量.
(2)一组首尾相接的向量和:
,如图5.
(3)对任意两个向量、,任有成立.
三、向量的减法
上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算:
减法(板书课题:
向量的减法)
(1)向量减法
①相反向量:
与长度相等,方向相反的向量叫做相反向量。
记作
规定:
零向量的相反向量仍是零向量
与互为相反向量。
即
任意向量与它的相反向量的和是零向量。
3°
如果、是互为相反向量,那么
②与的差:
向量加上的相反向量,叫做与的差
③向量的减法:
求两个向量的差的运算叫做向量的减法
④的作法:
已知向量、,在平面内任取一点O,作,则。
即可以表示为从向
量的终点指向向量的终点的向量
⑤思考:
为从向量的终点指向向量的终点的向量是什么?
()
还可以从加法的逆运算来定义,如图1所示,因为,所以就是,因而只要作出了,也就作出了.
图1
要作出,可以在平面内任取一点,作,,则.
若两向量平行,如何作它们的差向量?
两个向量的差仍是一个向量吗?
它们的大小如何(的几何意义)?
方向怎样?
两
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- 向量的坐标表示及其运算 数学 上册 81 向量 坐标 表示 及其 运算 教案 五沪教版