必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.doc
- 文档编号:2112026
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOC
- 页数:21
- 大小:1.34MB
必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.doc
《必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.doc(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
平面向量知识点整理
1、概念
向量:
既有大小,又有方向的量.数量:
只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:
起点、方向、长度.单位向量:
长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
向量表示:
几何表示法;字母a表示;坐标表示:
a=xi+yj=(x,y).向量的模:
设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:
.
(。
)
零向量:
长度为的向量。
a=O|a|=O.
【例题】1.下列命题:
(1)若,则。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。
(3)若,则是平行四边形。
(4)若是平行四边形,则。
(5)若,则。
(6)若,则。
其中正确的是_______
2.已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=_____
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接连端点.
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同连对角.
⑶三角形不等式:
.
⑷运算性质:
①交换律:
;②结合律:
;
③.
⑸坐标运算:
设,,则.
3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
【例题】
(1)①___;②____;
③_____
(2)若正方形的边长为1,,则=_____
4、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:
①;②;③.
⑶坐标运算:
设,则.
【例题】
(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______
5、向量共线定理:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.设,,()。
【例题】
(1)若向量,当=_____时与共线且方向相同
(2)已知,,,且,则x=______
6、向量垂直:
.
【例题】
(1)已知,若,则
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是______
(3)已知向量,且,则的坐标是________
7、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:
设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:
①;②;③.
⑷坐标运算:
设两个非零向量,,则.
若,则,或.
设,,则a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
则a∥ba=λb(b≠0)x1y2=x2y1.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则;(注)
【例题】
(1)△ABC中,,,,则_________
(2)已知,与的夹角为,则等于____
(3)已知,则等于____
(4)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____
(5)已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______
(6)已知向量=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),=(-1,0)。
(1)若x=,求向量、的夹角;
8、在上的投影:
即,它是一个实数,但不一定大于0。
【例题】已知,,且,则向量在向量上的投影为_____
9、(必修五的内容)
正弦定理(其中R表示三角形的外接圆半径):
(1)
(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(3)
余弦定理
(1)=
(2)
(3);②;
附:
△ABC的判定:
△ABC为直角△∠A+∠B=
<△ABC为钝角△∠A+∠B<
>△ABC为锐角△∠A+∠B>
附:
证明:
,在钝角△ABC中,
在△ABC中,有下列等式成立.
证明:
因为所以,所以,结论!
三角形的四个“心”;
重心:
三角形三条中线交点.外心:
三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:
三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:
三角形三边上的高相交于一点.
非零向量与有关系是:
是方向上的单位向量
练习题:
一、平面向量的概念及其运算
1、若向量满足,则与必须满足的条件为
2、若,则等于()
A.B.C.D.
3、正六边形ABCDEF中,()
A.B.C.D.
4、在边长为1的正方形ABCD中,设,则=
5、在中,已知,则等于()
A.B.C.D.
6、在中,E、F分别是AB和AC的中点,若,则等于()
A.B.C.D.
7、已知:
向量同向,且,则
二、平面向量的基本定理及坐标表示
8、若,且,则四边形ABCD是()
A.是平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形
9、已知且,试求点和的坐标
10、已知向量,则与同向的单位向量是()
A.B.C.D.
11、已知,则线段AB中点的坐标是
12、若三点共线,求
13、若向量与相等地,已知,则的值为()
A.-1B.-1或-4C.4D.1或4
三、平面向量的数量积
14、已知,,则与的夹角等于
15、已知ABCD为菱形,则的值为
16、已知,且,则向量在方向上的投影为
17、已知向量与的夹角为,且,
(1)求在方向上的投影
(2)求
(3)若向量与垂直,求实数的值
18、已知、满足且,则
19、若,且与不共线,则与的夹角为
20、已知,若与的夹角为钝角,则的取值范围是()
A.B.C.D.
21、已知,则与的夹角为
22、已知,若点在线段AB的中垂线上,则=
平面向量高考经典试题
一、选择题
1、已知向量,,则与
A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向
2、已知向量,若与垂直,则()
A. B. C. D.4
3、若向量满足,的夹角为60°,则=______;
4、在中,已知是边上一点,若,则()
A. B. C. D.
5、若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()
A. B.
C. D.
6、已知平面向量,则向量( )
A. B.
C. D.
二、填空题
1、已知向量.若向量,则实数的值是 .
2、若向量的夹角为,,则.
3、在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,,则 .
三、解答题:
1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0).
(1)若,求的值;
(2)若,求sin∠A的值
2.已知,,当为何值时,
(1)与垂直?
(2)与平行?
3.已知,,().求证:
与互相垂直;
4.已知与,问当实数的值为多少时最小。
5.已知向量,向量,则的最大值是.
平面向量知识点整理
1、概念
向量:
既有大小,又有方向的量.数量:
只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:
起点、方向、长度.单位向量:
长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
向量表示:
几何表示法;字母a表示;坐标表示:
a=xi+yj=(x,y).向量的模:
设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:
.
(。
)
零向量:
长度为的向量。
a=O|a|=O.
【例题】1.下列命题:
(1)若,则。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。
(3)若,则是平行四边形。
(4)若是平行四边形,则。
(5)若,则。
(6)若,则。
其中正确的是_______
(答:
(4)(5))
2.已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=_____
(答:
);
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接连端点.
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同连对角.
⑶三角形不等式:
.
⑷运算性质:
①交换律:
;②结合律:
;
③.
⑸坐标运算:
设,,则.
3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
【例题】
(1)①___;②____;
③_____(答:
①;②;③);
(2)若正方形的边长为1,,则=_____(答:
);
(3)已知作用在点的三个力,则合力的终点坐标是(答:
(9,1))
4、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:
①;②;③.
⑶坐标运算:
设,则.
【例题】
(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______
(答:
);
5、向量共线定理:
向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.设,,()。
【例题】
(1)若向量,当=_____时与共线且方向相同
(答:
2);
(2)已知,,,且,则x=______
(答:
4);
6、向量垂直:
.
【例题】
(1)已知,若,则
(答:
);
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是________
(答:
(1,3)或(3,-1));
(3)已知向量,且,则的坐标是________
(答:
)
7、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:
设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:
①;②;③.
⑷坐标运算:
设两个非零向量,,则.
若,则,或.
设,,则a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.
则a∥ba=λb(b≠0)x1y2=x2y1.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则;(注)
【例题】
(1)△ABC中,,,,则_________
(答:
-9);
(2)已知,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 必修 四平 面向 知识点 整理 例题 练习 答案