必修四正切函数的性质与图象(附答案).docx
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正切函数的性质与图象
[学习目标] 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
知识点一 正切函数的图象
1.正切函数的图象:
2.正切函数的图象叫做正切曲线.
3.正切函数的图象特征:
正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.
思考 我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y=tanx,x∈[-,]的简图吗?
怎样画.
答案 能.找三个关键点:
(,1),(0,0),(-,-1),两条平行线:
x=,x=-.
知识点二 正切函数图象的性质
1.函数y=tanx(x∈R且x≠kπ+,k∈Z)的图象与性质见下表:
解析式
y=tanx
图象
定义域
{x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间(k∈Z)内都是增函数
2.函数y=tanωx(ω≠0)的最小正周期是.
思考 正切函数图象是否具有对称性?
如果具有对称性,请指出其对称特征.
答案 具有对称性,为中心对称,对称中心为(,0),k∈Z.
题型一 正切函数的定义域
例1
(1)函数y=tan(sinx)的定义域为,值域为.
答案 R [tan(-1),tan1]
解析 因为-1≤sinx≤1,
所以tan(-1)≤tan(sinx)≤tan1,
所以y=tan(sinx)的定义域为R,
值域为[tan(-1),tan1].
(2)求函数y=tan(2x-)的定义域.
解 由2x-≠+kπ,k∈Z得,x≠π+kπ,
所以y=tan(2x-)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}.
跟踪训练1 求函数y=+lg(1-tanx)的定义域.
解 由题意得
即-1≤tanx<1.
在内,满足上述不等式的x的取值范围是.
又y=tanx的周期为π,
所以所求x的范围是[kπ-,kπ+)(k∈Z)
即函数定义域是(k∈Z).
题型二 求正切函数的单调区间
例2 求函数y=tan的单调区间及最小正周期.
解 y=tan=-tan,
由kπ- 得2kπ- ∴函数y=tan的单调递减区间是 ,k∈Z. 周期T==2π. 跟踪训练2 求函数y=tan的单调区间. 解 ∵y=tanx在x∈(k∈Z)上是增函数,∴-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z. 即-+ ∴函数y=tan的单调递增区间是 (k∈Z). 题型三 正切函数图象性质的应用 例3 (1)函数y=tan(2x+)的最小正周期是( ) A.πB.2πC.D. 答案 C 解析 最小正周期为T==. (2)画出函数y=|tanx|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由y=|tanx|得, y= 其图象如图: 由图象可知,函数y=|tanx|是偶函数. 函数y=|tanx|的周期T=π, 函数y=|tanx|的单调递增区间[kπ,kπ+)(k∈Z), 单调递减区间为(kπ-,kπ)(k∈Z). 跟踪训练3 (1)下列函数中,既是以π为周期的奇函数,又是(0,)上的增函数的是( ) A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=|sinx| 答案 A 解析 由于y=tanx与y=tan是奇函数,但是只有y=tanx的周期为π,y=cosx与y=|sinx|是偶函数. (2)画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间,周期性,奇偶性. 解 f(x)=tan|x|化为 f(x)= 根据y=tanx的图象,作出f(x)=tan|x|的图象,如图所示, 由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调增区间为[0,),(kπ+,kπ+π)(k∈N);单调减区间为(-,0],(kπ-π,kπ-)(k=0,-1,-2,…). 与三角函数相关的函数零点问题 例4 当x∈(-π,π)时,确定方程tanx-sinx=0的根的个数. 分析 tanx-sinx=0的根即为tanx=sinx的根,也就是y=tanx与y=sinx交点的横坐标,所以可根据图形进行分析. 解 在同一平面直角坐标系内画出y=tanx与y=sinx在(-,)上的图象,如图,由图象可知它们有三个交点,∴方程有三个根. 1.下列说法正确的是( ) A.正切函数在整个定义域内是增函数 B.正切函数在整个定义域内是减函数 C.函数y=3tan的图象关于y轴对称 D.若x是第一象限角,则y=tanx是增函数 2.函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为( ) A.(kπ-,kπ+),k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈Z C.(kπ-,kπ+),k∈ZD.(kπ-,kπ+),k∈Z 3.在下列函数中同时满足: ①在上递增;②以2π为周期;③是奇函数的是( ) A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=-tanx 4.方程tan=在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5B.4C.3D.2 5.函数y=3tan的对称中心的坐标是. 一、选择题 1.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是( ) A.(0,0) B. C. D.(π,0) 2.函数f(x)=lg(tanx+)为( ) A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数 C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 3.函数y=tan在一个周期内的图象是( ) 4.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y=所得线段长为,则f的值是( ) A.0B.1C.-1D. 5.函数y=lg(1+tanx)的定义域是( ) A.(kπ-,kπ+)(k∈Z)B.(kπ-,kπ+)(k∈Z) C.(kπ-,kπ+)(k∈Z)D.(kπ-,kπ+)(k∈Z) 6.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是( ) 二、填空题 7.使函数y=2tanx与y=cosx同时为单调递增的区间是. 8.函数y=3tan(ωx+)的最小正周期是,则ω=. 9.求函数y=-tan2x+4tanx+1,x∈的值域为. 10.已知函数y=tanωx在(-,)是减函数,则ω的取值范围是. 三、解答题 11.判断函数f(x)=lg的奇偶性. 12.求函数y=tan(-)的定义域、周期、单调区间和对称中心. 13. (1)求函数y=3tan(-2x)的单调区间; (2)比较tan1,tan2,tan3的大小. 当堂检测答案 1.答案 C 解析 由正切函数性质可知A、B、D均不正确, 又y=3tan=3tan|x|为偶函数, 故其图象关于y轴对称,故选C. 2.答案 C 3.答案 C 4.答案 B 解析 由tan=解得2x+=+kπ(k∈Z),∴x=(k∈Z),又x∈[0,2π),∴x=0,,π,.故选B. 5.答案 (k∈Z) 解析 由x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z). ∴对称中心坐标为(k∈Z). 课时精练答案 一、选择题 1.答案 C 2.答案 A 解析 ∵>|tanx|≥-tanx, ∴其定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}关于原点对称, 又f(-x)+f(x)=lg(-tanx+)+lg(tanx+)=lg1=0, ∴f(x)为奇函数,故选A. 3.答案 A 4.答案 A 解析 由题意,得T==,∴ω=4. ∴f(x)=tan4x,f=tanπ=0. 5.答案 C 解析 由题意得1+tanx>0,即tanx>-1, 由正切函数的图象得kπ- 6.答案 D 解析 当 当x=π时,y=0;当π tanx>sinx,y=2sinx.故选D. 二、填空题 7.答案 (2kπ-,2kπ)(k∈Z)和(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z) 解析 由y=2tanx与y=cosx的图象知,同时为单调递增的区间为(2kπ-,2kπ)(k∈Z)和(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z). 8.答案 ±2 解析 T==,∴ω=±2. 9.答案 [-4,4] 解析 ∵-≤x≤, ∴-1≤tanx≤1. 令tanx=t,则t∈[-1,1]. ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4, 当t=1,即x=时,ymax=4. 故所求函数的值域为[-4,4]. 10.答案 [-1,0) 解析 ∵y=tanωx在(-,)内是减函数, ∴ω<0且T=≥π. ∴|ω|≤1,即-1≤ω<0. 三、解答题 11.解 由>0得tanx>1或tanx<-1. ∴函数定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z)关于原点对称. f(-x)+f(x)=lg+lg =lg(·)=lg1=0. ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 12.解 ①由-≠kπ+,k∈Z, 得x≠2kπ+π,k∈Z. ∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ+π,k∈Z}. ②T==2π.∴函数的周期为2π. ③由kπ-<- 解得2kπ- ∴函数的单调增区间为(2kπ-,2kπ+π),k∈Z. ④由-=,k∈Z, 得x=kπ+π,k∈Z. ∴函数的对称中心是(kπ+π,0),k∈Z. 13.解 (1)y=3tan(-2x) =-3tan(2x-), 由-+kπ<2x- 得-+ ∴y=3tan(-2x)的单调减区间为(-+,+)(k∈Z). (2)tan2=-tan(π-2) =tan(2-π) tan3=-tan(π-3) =tan(3-π) ∵-<2-π<3-π<1<, ∴tan(2-π) ∴tan2
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