经济数学基础33积分完整版电大电大专科考试Word文档下载推荐.docx
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f(x)的一个原函数,则下列等式成立的是(B).
dxe
dx
.
xa
f(x)dxF(x)F(a)
2.函数
11
f(x)sin2x
的原函数是-2
cos2x+c(c是任意常数).
8.下列定积分中积分值为0的是(A).A.
e
e2
3.若4
f(x)dx(x1)c
若
f(x)2(x1)
.
则
9.下列无穷积分中收敛的是(C).C.
1
f(x)dxF(x)c
10.设R(q)=100-4q,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R的改变量是(B).B.-350
11.下列微分方程中,(D)是线D.12.微分方程(y)
f(ed
)dx=F(e)c
5.
dx
1
ln(x1)dx
0.
y(y)xy
的阶是(C)C.26.
x(x1)
0
dx
0.
13.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,3)的曲线为(C).C.
yx2
27.无穷积分
(x1)
是收敛的.(判别其敛散性)
14.下列函数中,(C)是xsinx
的原函数.C.
xcosx
8.设边际收入函数为R(q)=2+3q,且R(0)=0,则平均收入函数为2+
15.下列等式不成立的是(D
).D.lnxdxd(
32
)
q
16.若17.
(f(x)=
D)D.
14
9.(y)
2x
y0是
2阶微分方程.
10.微分方程y
11.d
的通解是
xd(e)(B).B.xe
dxedx
18.若
f(x)exdxexc,则f(x)=(C).C.
12.
(cosx)dx__________
________。
答案:
cosxc
19.若F(x)是
13.函数f(x)=sin2x的原函数是14.若
cos2x
f(x)dx23xcf(x)
20.下列定积分中积分值为0的是(A)A.
ee
xx
2ln23x
15.若
21.下列无穷积分中收敛的是(C)C.
xf(1x
)dx
=.
1F(1x2)c
16.
ddx
4.
.答案:
(x1)lnxdx
112
(x1)lnxdx=(x1)lnx
17.
sinx(x1)
20
4.解
.答案:
2
18.无穷积分19.(y)
edx是
-x
阶微分方程.答案:
二阶
=1(x22x)lnxx
24
xc
ey0是
ln30
e(1e)dx
xx2
20.微分方程
yx
的通解是.答案:
y1x3c
5.解
=
(1e)d(1e)(1e)
3ln30
x2x
21.函数f(x)
ln(x2)
4x的定义域是(-2,-1)U(-1,2].
e1
13
=56
22.若lim23.已知
sinmxsin2x
2,则m
4.
27+27ln3.
6.
lnxx
f(x)x3
f(3)=f(x)x
24.若函数且
f(x)在x0的邻域..
2e
x2e4x
(三)判断题1、lim
(1
.(×
)
在点
x42e
12.若函数
(×
13.已知
f(x)
x0
连续,则一定在点
处可微.
7.
f(x)xtanx,则f(x)
1cos
7.解
(√)14、
202
).
dx20218
xlnx
π
x=
1lnx
lnx)=
15.无穷限积分三、计算题
2lnx
sinxdx是发散的.(√
8.
=2(31)
xcos2xdx
sin
⒈
8解
⒈解
d(1x)cos
20
xsin2x
-
sin2xdx
dxsin.
解
2dxx
dxx
22
d(x)
2ln2
3.
xsin
xdx
3.解
xsinxdxxcosxcosxdxxcosxsinxc
9.
e10
ln(x1)dx
12.求微分方程y
yx1x
lnx
,得
满足
y
x1
1的特解.
9.解法一
ln(x1)dxxln(x1)
=e
xx1
12.解:
方程两端乘以
1
e1
1x1
=ln
yx
=e1[xln(x1)]
即
=1
(
)
lnx解法二令u
x1,则
e1ln(x1)dx
elnuduulnu
ee
u
=eue1
ee1110.求微分方程
y
y7xx2
1满足初始条件y
(1)4
的特解.
10.解因为P(x)
,Q(x)
1
用公式
ye
[(x2
1)e
dxc]
lnx
1xxx3
xc
x[42c]42
由3
y
(1)11c7,得c1
4214
所以,特解为yx
11.求微分方程ye
y3x
(1)
的特
0满足初始条件y解.
11.解将方程分离变量:
ye
y
dye3x
等式两端积分得
13x
将初始
条
件
y
(1)3
代入,得
1e
3
13
ec,c=
16
所以,特解为:
3ey
2e
3x
两
边
求
积
分
,
得
y2
lnxd(ln
x)
lnx2
通解为:
xln
cx
由
1,得c1
所以,满足初始条件的特解为:
yxlnx
x13.求微分方程ytan
xylny
的通解.
13.解将原方程分离变量
dyylny
cotxdx
两端积分得lnlny=lnCsinx通解为y=eCsinx
14.求微分方程xyy
xlnx的通解.
14.解将原方程化为:
1lnx
,它是一阶线性微分方程,
P(x)1,Q(x)
yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dx
xdx
[
1
lndxc]
x[
1xlnx
x(lnlnxc)15.求微分方程y
2xy
的通解.15.解在微分方程y
中,P(x)1,Q(x)2x
通
公
式
yedx(2xedxdxc)ex(2xexdxc)
ex(2xex2exdxc)ex(2xex2ex
c)(2x2ce
16.求微分方程xyyxsinx的通解.
16.解:
因为P(x)1,
Q(x)
sinx
,由通解公式得
1xdxe(
sinxe
dxc)
(sinxe
dxc)=1
(xsinxdxc)
(xcosxsinxc)17.
解
sinx
dx2sin
1dx2x
sin
=
2cos
xc
1dx=d
18.
exx
ex
1解:
2dxex
(
)dxex
d(1
e
)dxd(1
19.
解:
1dx
d(lnx)
11
lnxx
d(1lnx)
2lnxc
(1
d(1
2)dx)
xe20.
xlnxdx
xlnxdx
xlnx
e1
e
1(e2
1)(答案:
e21.
lnxdx
e2
xlnx
21
x
19
31
9
e3
22.
2xcosxdx
xcosxdx=xsinx
220
sinxdx
cosx2
0
23.lim
x6x8x4
5x4
原式=
lim(x4)(x2)limx2422x4(x4)(x1)x4x1413
24.lim
x1x0
sin2x
原式=lim(x1)(x1)lim(x
1)x0(x1)sin2x
x0sin2xx1
lim
12121x0
x1
lim
sin2x21
4x0
2x25.lim
x
x3
经-3
4解:
原式=lim444
-x
=limx
1-
-44经-3
3[lim4
]
4
26.设y
xxlncosx
,求dy
y(xxlncosx)(x)(lncosx)3x)31
(coscosx
sinxcosx
dy(32x1sinx
cosx
27.设y
ln
x2
,求
y.
sin1
y(lnx2x
sin1)(lnx)(2
sin1)x
ln2
1x
11sin12
1x
111sin1
ln2cos
x2x
ln2x
2xcos
x1
x2
28.设y
y(x)是由方程x2
3xyy2
1e
xy
确定的隐函数,求
方程两边对
x求导得:
3xyy2
1exy
2x3y3xy2yy0exy
xy2x3y3xy2yyexy
yxy
2x3yyexy
3x
29.设
函数,求dy.
yy(x)是由方程cos(xy)y1e
2xy
确定的隐四、应用题
1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C(x)=2x+40(万
方程两边对x求导得:
cos(xy)y1
e
xy
元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
1.解当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为C
cos(xy)
1
xy
xysin(xy)xy2yy1e62
(2x40)dx=(x40x)
6=100(万元)
sin(xy)yxy2yy0exy
1y
ysin(xy)
2yxsinxye
30.
(12x)
12x10
d12x
111
12x11
C
131.
xed5ex
1x
25ex
5e
532.
cos
dx2x
cos
xd
x2sin
xC
xcos2xdx
2xdsin2x12xsin2xsin2xdx
12xsin2x1cos2xc
33.
2
12xsin2x1
cos2xC15lnxe
34.
xx
15lnxdlnx2
15115lnxd15lnx1015lnx
710
15lne2110
15ln12
ex1
35.
dxexd1
xex
ee
36.
2xsinxdx2xdcosxxcosx22cosxdx0sinx
200
37.
lnxe
lnxdxx1
xlnx
dxe
dxexe
x)dxc又0
C(x)
C(x2
40x36
=x40
36
令C(x)1360,解得x
6
2x=6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2.已知某产品的边际成本C(x)=2(元/件),固定成本为0,边际收益
R(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大?
在最大利润产量的基础上再
生产50件,利润将会发生什么变化?
2.解因为边际利润
L(x)
R(x)C(x)=12-0.02x–2=10-0.02x
令L(x)=0,得x=500
x=500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值.所以,当产量为500件时,利润最大.
当产量由500件增加至550件时,利润改变量为
L
550
550=500-
500
(100.02x)dx(10x0.01x)
525=-25(元)
即利润将减少25元.
3.生产某产品的边际成本为C
(x)=8x(万元/百台),边际收入为
R(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最
大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
3.解L(x)=R(x)-C(x)=(100–2x)–8x=100–10x
令L(x)=0,得x=10(百台)
又x=10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x=10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大.
又
L
1210
L(x)dx
(10010x)dx
(100x5x2
20
5
4.已知某产品的边际成本为C(x)4x3(万元/百台),x为产量(百
7.已知某产品的边际成本为C(x)
台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.4.解:
因为总成本函数为C(x)
x为产量(百4x3(万元/百台),
台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.
(4x3)dx=2x
3xc
当x=0时,C(0)=18,得c=18
即C(x)=2x
又平均成本函数为
因为总成本函数为
C(x)(4x3)dx=2x23xc
3x18
C(x)x
2x3
18x
A(x)
令A(x)2
18x
0,解得x=3(百台)
又平均成本函数为A(x)
令
A(x)2
,解得x=3(百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时,平均成本最低.最底平均成本为
A(3)233
底平均成本为
该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时,平均成本最低.最
183
9(万元/百台)
5.设生产某产品的总成本函数为C(x)3x(万元),其中x为产量,
单位:
百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)百吨),求:
(1)利润最大时的产量;
152x(万元/
8.生产某产品的边际成本为
C
R(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润
最大?
解:
已知
(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
5.解:
(1)因为边际成本为
(x)=8x(万元/百台),
R(x)=100-2x
C(x)1
,边际利润
L(
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