必修5不等式题型总结.doc
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一.不等式的性质:
1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:
若,则(若,则),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
2.左右同正不等式:
同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:
若,则(若,则);
3.左右同正不等式:
两边可以同时乘方或开方:
若,则或;
4.若,,则;若,,则。
如
练习一、:
(1)对于实数中,给出下列命题:
①;②;
③;④;
⑤;⑥;
⑦;⑧,则。
其中正确的命题是______
(2)已知,,则的取值范围是______
(3)已知,且则的取值范围是______
二.不等式大小比较的常用方法:
1.作差:
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;
5.分子(或分母)有理化;6.利用函数的单调性;
7.寻找中间量或放缩法;8.图象法。
其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
练习二;
(1)设,比较的大小
(2)设,,,试比较的大小
(3)比较1+与的大小
三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:
“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。
如
(1)下列命题中正确的是
A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是
(2)若,则的最小值是______
;
(3)正数满足,则的最小值为______
五.证明不等式的方法:
比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:
作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。
).
常用的放缩技巧
六.简单的一元高次不等式的解法:
标根法:
其步骤是:
(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。
如
练习三:
(1)解不等式。
(2)不等式的解集是____
(3)设函数、的定义域都是R,且的解集为,的解集为,则不等式的解集为______
七.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。
解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如
练习四:
(1)解不等式
(2)关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为____________
八.绝对值不等式的解法:
1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集):
如解不等式
(2)利用绝对值的定义;(3)数形结合;如解不等式
(4)两边平方:
如
若不等式对恒成立,则实数的取值范围为______。
九.含参不等式的解法:
求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:
“综上,原不等式的解集是…”。
注意:
按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.如
(1)若,则的取值范围是__________
(2)解不等式
十一.含绝对值不等式的性质:
同号或有;
异号或有.
如设,实数满足,求证:
十二.(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:
不等式恒成立问题的常规处理方式?
(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法)
1).恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
如
(1)设实数满足,当时,的取值范围是______
(答:
);
(2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围_____
(答:
);
(3)若不等式对满足的所有都成立,则的取值范围_____
(答:
(,));
(4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是_____(答:
);
(5)若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.
(答:
)
2).能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围____(答:
)
3).恰成立问题
若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为;
若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?
对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:
一、按项的系数的符号分类,即;
例1解不等式:
分析:
本题二次项系数含有参数,,故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解:
∵
解得方程两根
∴当时,解集为
当时,不等式为,解集为
当时,解集为
例2解不等式
分析因为,,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时,解集为;当时,解集为
二、按判别式的符号分类,即;
例3解不等式
分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解:
∵∴当即时,解集为;当即Δ=0时,解集为;
当或即,此时两根分别为,,显然,
∴不等式的解集为
例4解不等式
解因,所以当,即时,解集为;
当,即时,解集为;
当,即时,解集为R。
三、按方程的根的大小来分类,即;
例5解不等式
分析:
此不等式可以分解为:
,故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
解:
原不等式可化为:
,令,可得:
,∴当或时,,故原不等式的解集为;当或时,,可得其解集为;
当或时,,解集为。
例6解不等式,
分析此不等式,又不等式可分解为,故只需比较两根与的大小.
解原不等式可化为:
,对应方程的两根为
,当时,即,解集为;当时,即,解集为
一元二次不等式
1.
(1)解不等式()
(2)不等式的解集为,求的值.()
2.解下列关于的不等式:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
3.
(1)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.()
(2)若不等式的解集为,求实数的取值范围.()
4.
(1)已知,
①若,求实数的取值范围.;()②若,求实数的取值范围.;()
③若为仅含有一个元素的集合,求的值.()
(2)已知,,求实数的取值范围.
()
(3)关于的不等式与的解集依次为与,
若,求实数的取值范围.()
(4)设全集,集合,若,
求实数的取值范围.()
(5)已知全集,,
若,求实数的取值范围.()
一元二次不等式及其解法
1.二次函数的图象及性质:
二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是.
2.二次函数的解析式的三种形式:
(一般式);
(零点式);
(顶点式).
3.一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集:
设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
4.解一元二次不等式的步骤:
(1)将二次项系数化为“+”:
A=>0(或<0)(a>0);
(2)计算判别式,分析不等式的解的情况;
(3)写出解集.
5.讨论二次函数在指定区间上的最值问题:
(1)注意对称轴与区间的相对位置.一般分为三种情况讨论,即:
①对称轴在区间左边,函数在此区间上具有单调性;②对称轴在区间之内;③对称轴在区间右边.
(2)函数在区间上的单调性.要注意系数的符号对抛物线开口的影响.
6.二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:
①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.
三、典型例题选讲
题型1:
考查一元二次函数的性质
例1函数是单调函数的充要条件是()
A.B.C.D.
解:
∵函数的对称轴为,
∴函数)是单调函数,.故选A.
归纳小结:
二次函数的单调区间是和,结合开口方向就可得出所需的条件,从而求出的范围.
例2已知二次函数的对称轴为,截轴上的弦长为,且过点,求函数的解析.
解:
∵二次函数的对称轴为,可设所求函数为,∵截轴上的弦长为,
∴过点和,又过点,∴,解之得,
∴.
归纳小结:
求二次函数的解析式一般采用待定系数法,但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式:
一般式、零点式和顶点式,正确的选择会使解题过程得到简化.
题型2:
简单不等式的求解问题
例3求下列不等式的解集.
(1);
(2)
解法一:
因为.所以,原不等式的解集是.
解法二:
整理,得.
因为无实数解,所以不等式的解集是.从而,原不等式的解集是.
归纳小结:
解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次不等式的步骤求解,必要时要画出二次函数的图象进行观察.
例4不等式的解集为,求与的值.
解法一:
设的两根为、,由韦达定理得:
由题意得∴,,此时满足,.
解法二:
构造解集为的一元二次不等式:
,即,此不等式与原不等式应为同解不等式,故,.
归纳小结:
此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为,不等式需满足条件,,的两根为,.在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系.
题型3:
含参不等式的求解问题
例5解关于的不等式.
证:
分以下情况讨论
(1)当时,原不等式变为:
,∴,即不等式的解集为
(2)当时,原不等式变为:
①①当时,①式变为,∴不等式的解为或.即不等式的解集为;②当时,①式变为.②,∵,
∴当时,,此时②的解为.即不等式的解集为;当时,,此时②的解为.
当时,,即不等式的解集为.
归纳小结:
解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:
分类应做到使所给参数的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论时,解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解.
题型4:
一元二次不等式的应用
例6
(1)已知函数,则不等式的解集是()
A.B.
C.D.
解:
依题意得
所以,选C.
(2)若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为_______.
解:
函数的定义域为R,对一切都有恒成立,即恒成立,
成立,即,,故选A.
归纳小结:
解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查,
一般是借助于函数的性质和图象进行转化,再求解一元二次不等式,利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质,体现“三个二次”之间的紧密联系,这也是一元二次不等式的重要考点之一.
例7已知函数的最大值为,求
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