第9章模拟信号的数字传输报告文档格式.docx
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图9-2抽样定理波形图
令M(f)、(f)和Ms(f)分别表示m(t)、T(t)和ms(t)的频谱。
按照频率卷积定理,m(t)T(t)的傅里叶变换等于M(f)和(f)的卷积。
因此,ms(t)的傅里叶变换Ms(f)可以写为:
(9-1)
而(f)是周期性单位冲激脉冲的频谱,它可以求出等于:
(9-2)
式中,
将上式代入Ms(f)的卷积式,得到
(9-3)
上式中的卷积,可以利用卷积公式:
(9-4)
进行计算,得到
(9-5)
上式表明,由于M(f-nfs)是信号频谱M(f)在频率轴上平移了nfs的结果,所以抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而成。
用频谱图示出如下
图9-3抽样定理频谱图
因为已经假设信号m(t)的最高频率小于fH,所以若频率间隔fs2fH,则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f)之间互不重叠,如上图所示。
这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤波器分离出信号m(t)的频谱M(f),也就是能从抽样信号中恢复原信号。
这里,恢复原信号的条件是:
即抽样频率fs应不小于
的两倍。
这一最低抽样速率2fH称为奈奎斯特速率。
与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。
恢复原信号的方法:
从上图可以看出,当fs2fH时,用一个截止频率为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。
从时域中看,当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时,滤波器的输出就是一系列冲激响应之和,如下图所示。
这些冲激响应之和就构成了原信号。
图9-4滤波器输出冲激响应
理想滤波器是不能实现的。
实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。
所以,实用的抽样频率fs必须比2fH大一些。
例如,典型电话信号的最高频率通常限制在3400Hz,而抽样频率通常采用8000Hz。
9.2.2带通模拟信号的抽样定理
设带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间。
即其频谱最低频率大于fL,最高频率小于fH,信号带宽B=fH-fL。
可以证明,此带通模拟信号所需最小抽样频率fs等于
(9-6)
式中,B-信号带宽;
n-商(fH/B)的整数部分,n=1,2,…;
k-商(fH/B)的小数部分,0<
k<
1。
按照上式画出的fs和fL关系曲线示于下图:
图9-5带通模拟信号的抽样定理图
由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信号带宽B,所以当0fL<
B时,有BfH<
2B。
这时n=1,而上式变成了fs=2B(1+k)。
故当k从0变到1时,fs从2B变到4B,即图中左边第一段曲线。
当fL=B时,fH=2B,这时n=2。
故当k=0时,上式变成了fs=2B,即fs从4B跳回2B。
当BfL<
2B时,有2BfH<
3B。
这时,n=2,上式变成了fs=2B(1+k/2),故若k从0变到1,则fs从2B变到3B,即图中左边第二段曲线。
当fL=2B时,fH=3B,这时n=3。
当k=0时,上式又变成了fs=2B,即fs从3B又跳回2B。
依此类推。
由上图可见,当fL=0时,fs=2B,就是低通模拟信号的抽样情况;
当fL很大时,fs趋近于2B。
fL很大意味着这个信号是一个窄带信号。
许多无线电信号,例如在无线电接收机的高频和中频系统中的信号,都是这种窄带信号。
所以对于这种信号抽样,无论fH是否为B的整数倍,在理论上,都可以近似地将fs取为略大于2B。
图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs,但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
9.3模拟脉冲调制
模拟脉冲调制的种类
周期性脉冲序列有4个参量:
脉冲重复周期、脉冲振幅、脉冲宽度和脉冲相位(位置)。
其中脉冲重复周期(抽样周期)一般由抽样定理决定,故只有其他3个参量可以受调制。
3种脉冲调制:
脉冲振幅调制(PAM)
脉冲宽度调制(PDM)
脉冲位置调制(PPM)
仍然是模拟调制,因为其代表信息的参量仍然是可以连续变化的。
模拟脉冲调制波形
图9-6几种模拟脉冲调制
PAM调制
PAM调制信号的频谱
设:
基带模拟信号的波形为m(t),其频谱为M(f);
用这个信号对一个脉冲载波s(t)调幅,s(t)的周期为T,其频谱为S(f);
脉冲宽度为,幅度为A;
并设抽样信号ms(t)是m(t)和s(t)的乘积。
则抽样信号ms(t)的频谱就是两者频谱的卷积:
(9-7)
式中sinc(nfH)=sin(nfH)/(nfH)
PAM调制过程的波形和频谱图
图9-7PAM调制过程的波形和频谱图
由上图看出,若s(t)的周期T(1/2fH),或其重复频率fs2fH,则采用一个截止频率为fH的低通滤波器仍可以分离出原模拟信号。
自然抽样和平顶抽样
在上述PAM调制中,得到的已调信号ms(t)的脉冲顶部和原模拟信号波形相同。
这种PAM常称为自然抽样。
在实际应用中,则常用“抽样保持电路”产生PAM信号。
这种电路的原理方框图如右:
图9-8PAM自然抽样原理图
平顶抽样输出波形
图9-9平顶抽样输出波形
平顶抽样输出频谱
设保持电路的传输函数为H(f),则其输出信号的频谱MH(f)为:
上式中的Ms(f)用
(9-8)
代入,得到
(9-9)
比较上面的MH(f)表示式和Ms(f)表示式可见,其区别在于和式中的每一项都被H(f)加权。
因此,不能用低通滤波器恢复(解调)原始模拟信号了。
但是从原理上看,若在低通滤波器之前加一个传输函数为1/H(f)的修正滤波器,就能无失真地恢复原模拟信号了。
9.4抽样信号的量化
9.4.1量化原理
设模拟信号的抽样值为m(kT),其中T是抽样周期,k是整数。
此抽样值仍然是一个取值连续的变量。
若仅用N个不同的二进制数字码元来代表此抽样值的大小,则N个不同的二进制码元只能代表M=2N个不同的抽样值。
因此,必须将抽样值的范围划分成M个区间,每个区间用一个电平表示。
这样,共有M个离散电平,它们称为量化电平。
用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。
量化器
在原理上,量化过程可以认为是在一个量化器中完成的。
量化器的输入信号为m(kT),输出信号为mq(kT),如下图所示。
图9-10量化原理图
在实际中,量化过程常是和后续的编码过程结合在一起完成的,不一定存在独立的量化器。
9.4.2均匀量化
均匀量化的表示式
设模拟抽样信号的取值范围在a和b之间,量化电平数为M,则在均匀量化时的量化间隔为
(9-10)
且量化区间的端点为
i=0,1,…,M
(9-11)
若量化输出电平qi取为量化间隔的中点,则
显然,量化输出电平和量化前信号的抽样值一般不同,即量化输出电平有误差。
这个误差常称为量化噪声,并用信号功率与量化噪声之比衡量其对信号影响的大小。
9.4.3非均匀量化
非均匀量化的目的:
在实际应用中,对于给定的量化器,量化电平数M和量化间隔v都是确定的,量化噪声Nq也是确定的。
但是,信号的强度可能随时间变化(例如,语音信号)。
当信号小时,信号量噪比也小。
所以,这种均匀量化器对于小输入信号很不利。
为了克服这个缺点,改善小信号时的信号量噪比,在实际应用中常采用非均匀量化。
非均匀量化的数学分析
当量化区间划分很多时,在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。
因此,这段直线的斜率可以写为:
(9-12)
并有
设此压缩器的输入和输出电压范围都限制在0和1之间,即作归一化,且纵坐标y在0和1之间均匀划分成N个量化区间,则每个量化区间的间隔应该等于
(9-13)
将其代入上式,得到
(9-14)
为了对不同的信号强度保持信号量噪比恒定,当输入电压x减小时,应当使量化间隔x按比例地减小,即要求
xx
因此上式可以写成
或
式中,k-比例常数。
上式是一个线性微分方程,其解为
为了求出常数c,将边界条件(当x=1时,y=1),代入上式,得到k+c=0
故求出c=-k
将c的值代入上式,得到
(9-15)
即要求y=f(x)具有如下形式:
由上式看出,为了对不同的信号强度保持信号量噪比恒定,在理论上要求压缩特性具有对数特性。
但是,该式不符合因果律,不能物理实现,因为当输入x=0时,输出y=-,其曲线和上图中的曲线不同。
所以,在实用中这个理想压缩特性的具体形式,按照不同情况,还要作适当修正,使当x=0时,y=0。
关于电话信号的压缩特性,国际电信联盟(ITU)制定了两种建议,即A压缩律和压缩律,以及相应的近似算法-13折线法和15折线法。
我国大陆、欧洲各国以及国际间互连时采用A律及相应的13折线法,北美、日本和韩国等少数国家和地区采用律及15折线法。
下面将分别讨论这两种压缩律及其近似实现方法。
A压缩律
A压缩律是指符合下式的对数压缩规律:
(9-16)
式中,x-压缩器归一化输入电压;
y-压缩器归一化输出电压;
A-常数,它决定压缩程度。
A律是从前式修正而来的。
它由两个表示式组成。
第一个表示式中的y和x成正比,是一条直线方程;
第二个表示式中的y和x是对数关系,类似理论上为保持信号量噪比恒定所需的理想特性的关系。
A律的导出
由式
画出的曲线示于下图中。
为了使此曲线通过原点,修正的办法是通过原点对此曲线作切线ob,用直线段ob代替原曲线段,就得到A律。
此切点b的坐标(x1,y1)为
或(1/A,Ax1/(1+lnA))
A律是物理可实现的。
其中的常数A不同,则压缩曲线的形状不同,这将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。
在实用中,选择A等于87.6。
图9-11A压缩律
13折线压缩特性-A律的近似
A律表示式是一条平滑曲线,用电子线路很难准确地实现。
这种特性很容易用数字电路来近似实现。
13折线特性就是近似于A律的特性。
在下图中示出了这种特性曲线:
图9-1213折线特性
图中横坐标x在0至1区间中分为不均匀的8段。
1/2至1间的线段称为第8段;
1/4至1/2间的线段称为第7段;
1/8至1/4间的线段称为第6段;
依此类推,直到0至1/128间的线段称为第1段。
图中纵坐标y则均匀地划分作8段。
将与这8段相应的座标点(x,y)相连,就得到了一条折线。
由图可见,除第1和2段外,其他各段折线的斜率都不相同。
在下表中列出了这些斜率
因为语音信号为交流信号,所以,上述的压缩特性只是实用的压缩特性曲线的一半。
在第3象限还有对原点奇对称的另一半曲线,如下图所示:
在此图中,第1象限中的第1和第2段折线斜率相同,所以构成一条直线。
同样,在第3象限中的第1和第2段折线斜率也相同,并且和第1象限中的斜率相同。
所以,这4段折线构成了一条直线。
因此,共有13段折线,故称13折线压缩特性。
图9-1313折线压缩特性
13折线特性和A律特性之间的误差
为了方便起见,仅在折线的各转折点和端点上比较这两条曲线的座标值。
各转折点的纵坐标y值是已知的,即分别为0,1/8,2/8,3/8,…,1。
对于A律压缩曲线,当采用的A值等于87.6时,其切点的横坐标x1等于:
(9-17)
将此x1值代入y1的表示式,就可以求出此切点的纵坐标y1:
(9-18)
这表明,A律曲线的直线段在座标原点和此切点之间,即(0,0)和(0.0114,0.183)之间。
所以,此直线的方程可以写为:
(9-19)
13折线的第1个转折点纵坐标y=1/8=0.125,它小于y1,故此点位于A律的直线段,按上式即可求出相应的x值为1/128。
当y>
0.183时,应按A律对数曲线段的公式计算x值。
此时,由下式可以推出x的表示式:
(9-20)
按照上式可以求出在此曲线段中对应各转折点纵坐标y的横坐标值。
当用A=87.6代入上式时,计算结果见下表
从表中看出,13折线法和A=87.6时的A律压缩法十分接近。
压缩律和15折线压缩特性
在A律中,选用A等于87.6有两个目的:
1)使曲线在原点附近的斜率等于16,使16段折线简化成仅有13段;
2)使在13折线的转折点上A律曲线的横坐标x值接近1/2i(i=0,1,2,…,7),如上表所示。
若仅为满足第二个目的,则可以选用更恰当的A值。
由上表可见,当仅要求满足x=1/2i时,y=1–i/8,则将此条件代入式
(9-21)
得到:
因此,求出
将此A值代入下式,得到:
(9-22)
若按上式计算,当x=0时,y;
当y=0时,x=1/28。
而我们的要求是当x=0时,y=0,以及当x=1时,y=1。
为此,需要对上式作一些修正。
在律中,修正后的表示式如下:
(9-23)
由上式可以看出,它满足当x=0时,y=0;
当x=1时,y=1。
但是,在其他点上自然存在一些误差。
不过,只在小电压(x<
1/128)时,才有稍大误差。
通常用参数表示上式中的常数255。
这样,上式变成:
(9-24)
这就是美国等地采用的压缩律的特性。
由于律同样不易用电子线路准确实现,所以目前实用中是采用特性近似的15折线代替律。
这时,和A律一样,也把纵坐标y从0到1之间划分为8等份。
对应于各转折点的横坐标x值可以按照下式计算:
(9-25)
计算结果列于下表中。
将这些转折点用直线相连,就构成了8段折线。
表中还列出了各段直线的斜率。
由于其第一段和第二段的斜率不同,不能合并为一条直线,故当考虑到信号的正负电压时,仅正电压第一段和负电压第一段的斜率相同,可以连成一条直线。
所以,得到的是15段折线,称为15折线压缩特性。
在下图中给出了15折线的图形。
图9-1415折线的图形
比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知,15折线特性第一段的斜率(255/8)大约是13折线特性第一段斜率(16)的两倍。
所以,15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的两倍。
但是,对于大信号而言,15折线特性给出的信号量噪比要比13折线特性时稍差。
这可以从对数压缩式看出,在A律中A值等于87.6;
但是在律中,相当A值等于94.18。
A值越大,在大电压段曲线的斜率越小,即信号量噪比越差。
恢复原信号大小的扩张原理,完全和压缩的过程相反。
均匀量化和均匀量化比较
若用13折线法中的(第一和第二段)最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔,则13折线法中第一至第八段包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024,共有2048个均匀量化间隔,而非均匀量化时只有128个量化间隔。
因此,在保证小信号的量化间隔相等的条件下,均匀量化需要11比特编码,而非均匀量化只要7比特就够了。
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