广东省深圳市高考数学一模试卷理科解析版.doc
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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=( )
A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8}
2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=( )
A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3
3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )
A. B. C. D.
4.等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,则=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
5.直线l:
kx+y+4=0(k∈R)是圆C:
x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为( )
A. B. C. D.2
6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为( )
A.4π B.πh2 C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)2
7.函数f(x)=•cosx的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是( )
A.ac>bc B.ac>bc
C.loga(a﹣c)>logb(b﹣c) D.>
9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为( )
A.335 B.336 C.337 D.338
10.已知F是双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是( )
A. B.2 C.3 D.4
11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( )
A.(0,) B.(2,+∞) C.(e+,+∞) D.(+,+∞)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|= .
14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为 (用数字作答).
15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k= .
16.已知数列{an}满足nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若an<an+1对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 .
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.
(1)求C;
(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.
18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.
(1)证明:
平面ACEF⊥平面ABCD;
(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.
(1)求某户居民用电费用y(单位:
元)关于月用电量x(单位:
度)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;
(3)在满足
(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.
20.已成椭圆C:
+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:
x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.
21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.
(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;
(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;
(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:
|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线E的极坐标方程;
(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证:
+为定值,并求出这个定值.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.
(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;
(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.
2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=( )
A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8}
【考点】交集及其运算.
【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:
∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},
∴A∩B={4,6},
故选:
B.
2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=( )
A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,根据已知条件列出方程组,求解即可得答案.
【解答】解:
==,
∵复数(a∈R)为纯虚数,
∴,解得:
a=﹣2.
故选:
C.
3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.
【解答】解:
袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,
现从中随机选取三个球,
基本事件总数n==4,
所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:
(2,3,4),(2,4,6),共有2个,
∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.
故选:
B.
4.等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,则=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由等比数列{an}的前n项和求出前3项,由此能求出利用等比数列{an}中,,能求出.
【解答】解:
∵等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,
∴a1=S1=a+b,
a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a,
a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a,
∵等比数列{an}中,,
∴(2a)2=(a+b)×6a,
解得=﹣3.
故选:
A.
5.直线l:
kx+y+4=0(k∈R)是圆C:
x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为( )
A. B. C. D.2
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:
kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),求得k的值,可得点A的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.
【解答】解:
∵圆C:
x2+y2+4x﹣4y+6=0,即(x+2)2+(y﹣2)2=2,
表示以C(﹣2,2)为圆心、半径等于的圆.
由题意可得,直线l:
kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),
故有﹣2k+2+4=0,∴k=3,点A(0,3).
直线m:
y=x+3,圆心到直线的距离d==,
∴直线m被圆C所截得的弦长为2=.
故选:
C.
6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:
“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为( )
A.4π B.πh2 C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)2
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆,明确其半径求面积.
【解答】解:
由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;
故选B.
7.函数f(x)=•cosx的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.
【解答】解:
f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),
∴f(x)为奇函数,
∴函数f(x)的图象关于原点对称,
当x∈(0,)时,cosx>0,>0,
∴f(x)>0在(0,)上恒成立,
故选:
C
8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是( )
A.ac>bc B.ac>bc
C.loga(a﹣c)>logb(b﹣c) D.>
【考点】不等式的基本性质.
【分析】根据不等式的性质求出a(b﹣c)>b(a﹣c)以及a﹣c>b﹣c>0,从而求出答案.
【解答】解:
∵a>b>0,c<0,﹣c>0,
∴a﹣c>b﹣c>0,ac<bc,
故a(b﹣c)>b(a﹣c),
故>,
故选:
D.
9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为( )
A.335 B.336 C.337 D.338
【考点】程序框图.
【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.
【解答】解:
模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个
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