平面向量经典习题汇总.doc
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平面向量经典习题汇总.doc
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平面向量经典习题汇总
1.(北京理.2)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么()
A.且c与d同向B.且c与d反向
C.且c与d同向D.且c与d反向
【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
取a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
2.(北京文.2)已知向量,如果,那么
A.且与同向B.且与反向
C.且与同向D.且与反向
.【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
∵a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
3.(福建理.9;文.12)设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于w.w
A.以a,b为两边的三角形面积B以b,c为两边的三角形面积
C.以a,b为邻边的平行四边形的面积D以b,c为邻边的平行四边形的面积
【解析】依题意可得故选C.
4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力(单位:
牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为wA.6B.2C.D.w.w.w.k.s.5.u.
【解析】,所以,选D.
5.(广东文.3)已知平面向量a=,b=,则向量
A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】,由及向量的性质可知,选C
6.(湖北理.4,文7)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时,向量可以等于
【解析】由平面向量平行规律可知,仅当时,
:
=为奇函数,故选D.
7.(湖北文.1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
【解析】由计算可得故选B
8.(湖南文.4)如图1,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则()
图1
A.
B.
C.
D.
图1
【解析】得,
或.故选A.
9.(辽宁理,文.3)平面向量与的夹角为,,则
(A) (B) (C)4 (D)12
【解析】,,,
,。
选B
10.(宁夏海南理.9)
已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的
(A)重心外心垂心(B)重心外心内心
(C)外心重心垂心(D)外心重心内心
(注:
三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
【解析】
;
选C
11.(全国理.6)设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为()
(A)(B)(C)(D)
【解析】是单位向量w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故选D.
12.(全国理,文.6)已知向量,,,则
(A)(B)(C)5(D)25
【解析】将平方即可,故选C
A
B
C
P
第7题图
13.(山东理.7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A.B.C.D.
【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,
可以借助图形解答因为,所以点P
为线段AC的中点,所以应该选B。
14.(陕西理.8)在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(A)(B)(C)(D)
【解析】故选A
15.(浙江文.5)已知向量,.若向量满足,,则()
A.B.C.D.
【解析】不妨设,则,对于,则有;又,则有,则有故D
16.(重庆理.4)已知,则向量与向量的夹角是()
A. B. C. D.
【解析】故选C
17.(重庆文.4)已知向量若与平行,则实数的值是
A.-2 B.0 C.1 D.2
【解析】法1:
因为,所以由于与平行,得,解得。
法2因为与平行,则存在常数,使,,根据向量共线的条件知,向量与共线,故故选D
二.填空题:
1.(安徽理.14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
【解析】设
,即
∴
2.(安徽文.14)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC
的中点,若=+,其中,R,则+_____.学科网
【解析】
,∴,∴
3.(广东理.10)若平面向量,满足,平行于轴,,则.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
或,则或.
4.(湖南文.15)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则
图2
___________,________.
【解析】
作,设,,
由解得故
5.(江苏文理.2).已知向量和向量的夹角为,,则向量和向量的数量积=___________。
【解析】考查数量积的运算。
6.(江西理.13)已知向量,,,若∥,则=.
【解析】
7..(江西文.13)已知向量,,,若则=.
【解析】因为所以
8.(天津理.15)在四边形ABCD中,==(1,1),,则四边形ABCD的面积是
【解析】因为==(1,1),所以四边形ABCD为平行四边形,所以
则四边形ABCD的面积为
9.(天津文.15)若等边的边长为,平面内一点M满足,则________.
【解析】合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设
这样利用向量关系式,求得M,然后求得,运用数量积公式解得为-2.
三.解答题:
1.(广东理.16)已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.
2.(广东文.16)已知向量与互相垂直,其中
(1)求和的值
(2)若,,求的值
【解析】(1),,即
又∵,∴,即,∴
又 ,
(2)∵
,即
又,∴w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.(湖北理科17.)已知向量
(Ⅰ)求向量的长度的最大值;
(Ⅱ)设,且,求的值。
【解析】
(1)解法1:
则
,即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,有所以向量的长度的最大值为2.
解法2:
,,
当时,有,即,
的长度的最大值为2.
(2)解法1:
由已知可得
。
,,即。
由,得,即。
于是。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法2:
若,则,又由,得
,,即
,平方后化简得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得或,经检验,即为所求
4.(湖南理.16)在中,已知,求角A,B,C的大小.
【解析】设.
由得,所以.
又因此.
由得,于是.
所以,,因此
,既.
由知,所以,从而
或,既或故
或。
5.(湖南文16.)已知向量
(Ⅰ)若,求的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)若求的值。
【解析】(Ⅰ)因为,所以
于是,故
(Ⅱ)由知,
所以
从而,即,
于是.又由知,,
所以,或.
因此,或
6.(江苏文理.15)设向量学科
(1)若与垂直,求的值;学科网
(2)求的最大值;学科网
(3)若,求证:
∥..网
【解析】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。
7.(浙江理.18)在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积;(II)若,求的值.
【解析】(I)因为,,又由,得,
(II)对于,又,或,由余弦定理得,
20090423
8.(浙江文.18)在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积;(II)若,求的值.
【解析】(Ⅰ)
又,,而,所以,所以的面积为:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,而,所以
所以
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