平面向量数量积练习含答案.doc
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平面向量的数量积(20131119)作业
姓名成绩
A组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2012·辽宁)已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于 ( )
A.-1 B.- C. D.1
2.(2012·重庆)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于( )
A.B.C.2D.10
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( )
A. B.C. D.
4.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于 ( )
A.- B.- C. D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.
6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=________.
7.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________.
三、解答题(共22分)
8.(10分)已知a=(1,2),b=(-2,n)(n>1),a与b的夹角是45°.
(1)求b;
(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.
9.(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
B组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于 ( )
A. B. C.2 D.
2.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( )
A.-4B.4C.-2D.2
3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则等于( )
A.2 B.4 C.5 D.10
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点
F在边CD上,若·=,则·的值是________.
6.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则·的取值范围是________.
三、解答题
7.(13分)设平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.
(1)求证:
向量a+b与a-b垂直;
(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.
平面向量的数量积(20131119)作业答案
A组 专项基础训练
1.答案 D
解析 a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1.
2.答案 B
解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),
由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,∴x=2.
由b∥c,得1×(-4)-2y=0,∴y=-2.
∴a=(2,1),b=(1,-2).
∴a+b=(3,-1),∴|a+b|==.
3.答案 D
解析 设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),
又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.①
又c⊥(a+b),∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.②
联立①②解得x=-,y=-.
4.答案 D
解析 由于·=||·||·cos∠BAC
=(||2+||2-||2)=×(9+4-10)=.
5.答案 3
解析 ∵a,b的夹角为45°,|a|=1,
∴a·b=|a|·|b|cos45°=|b|,
|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.
6.答案 -16
解析 如图所示,
=+,
=+
=-,
∴·=(+)·(-)
=2-2=||2-||2=9-25=-16.
7.答案 (-∞,-6)∪
解析 由a·b<0,即2λ-3<0,解得λ<,由a∥b得:
6=-λ,即λ=-6.因此λ<,且λ≠-6.
8.解
(1)a·b=2n-2,|a|=,|b|=,
∴cos45°==,∴3n2-16n-12=0,
∴n=6或n=-(舍),∴b=(-2,6).
(2)由
(1)知,a·b=10,|a|2=5.
又c与b同向,故可设c=λb(λ>0),(c-a)·a=0,
∴λb·a-|a|2=0,∴λ===,
∴c=b=(-1,3).
9.解 ∵e1·e2=|e1|·|e2|·cos60°=2×1×=1,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)
=2te+7te+(2t2+7)e1·e2
=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7.
由已知得2t2+15t+7<0,解得-7 当向量2te1+7e2与向量e1+te2反向时, 设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0, 则⇒2t2=7⇒t=-或t=(舍). 故t的取值范围为(-7,-)∪(-,-). B组 专项能力提升 1.答案 A 解析 ∵·=1,且AB=2, ∴1=||||cos(π-B),∴||||cosB=-1. 在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cosB, 即9=4+|BC|2-2×(-1). ∴|BC|=. 2.答案 A 解析 a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积,得a·b=|b||a|·cos〈a,b〉,即-12=3|a|·cos〈a,b〉, ∴|a|·cos〈a,b〉=-4. 3.答案 D 解析 ∵=-,∴||2=2-2·+2. ∵=-,∴||2=2-2·+2. ∴||2+||2 =(2+2)-2·(+)+22 =2-2·2+22. 又2=162,=2, 代入上式整理得||2+||2=10||2,故所求值为10. 4.答案 解析 利用向量数量积的坐标运算求解. a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=(3,3m)·(m+1,1)=6m+3=0, ∴m=-.∴a=(1,-1),∴|a|=. 5.答案 解析 方法一 坐标法. 以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2). 故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2), ∴·=(,0)·(x,2)=x. 又·=,∴x=1.∴=(1-,2). ∴·=(,1)·(1-,2)=-2+2=. 方法二 用,表示,是关键. 设=x,则=(x-1). ·=·(+) =·(+x)=x2=2x, 又∵·=,∴2x=, ∴x=.∴=+=+. ∴·=(+)· = =2+2 =×2+×4=. 6.答案 [1,4] 解析 利用基向量法,把,都用,表示,再求数量积. 如图所示, 设= =λ(0≤λ≤1),则=λ, =λ,=- =(λ-1), ∴·=(+)·(+) =(+λ)·[+(λ-1)] =(λ-1)·+λ· =4(1-λ)+λ=4-3λ, ∴当λ=0时,·取得最大值4; 当λ=1时,·取得最小值1. ∴·∈[1,4]. 7. (1)证明 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-=0, 故向量a+b与a-b垂直. (2)解 由|a+b|=|a-b|,两边平方得 3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2, 所以2(|a|2-|b|2)+4a·b=0,而|a|=|b|, 所以a·b=0,即·cosα+·sinα=0, 即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k·180°+90°,k∈Z, 即α=k·180°+30°,k∈Z, 又0°≤α<360°,则α=30°或α=210°.
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- 平面 向量 数量 练习 答案
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