平面向量习题整理.doc
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平面向量习题整理.doc
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向量习题分类精选
类型1.向量的模
点评:
向量模的处理思路:
几何法,平方,坐标
1.(2011·辽宁)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( B )
A.-1 B.1
C. D.2
2.已知向量a≠e,|e|=1,满足:
对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则( C )
A.a⊥e B.a⊥(a-e)
C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)
3.(16上期中)若向量满足,则在方向上的投影的最大值是________.
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( A )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为邻边的平行四边形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为两边的三角形的面积
5.【2013,安徽理9】在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是(D)
A.B.C.D.
6.【2013湖南6】已知是单位向量,.若向量满足(A)
A.B.
C.D.
7.【2015湖南理2】已知点,,在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为(B)
A.6B.7C.8D.9
8.【2013重庆,理10】在平面上,,,.若,则的取值范围是(D)
A、B、C、D、
9.【2014湖南16】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1,则的最大值是_________.
10.【2015高考浙江,理15】已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则___.__.__.
,,.
11.【2013高考重庆理第10题】在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( D ).
A.B.C.D.
12.已知中,,点是所在平面内一点.若,且,则.
13.(2017届武汉市二月调考.理11)已知为两个非零向量,且,,则的最大值为(D)
A.B.C.D.
类型2.平面向量基本定理,基底转化,双参数问题
常见处理方法:
线性运算(加、减、数乘)直接转化;待定系数法;方程组法。
14.【2013年.浙江卷.理17】设为单位向量,非零向量,x,y∈R.若的夹角为,则的最大值等于__________.2
15.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为________.2
点评:
三点共线经常作为隐含信息出现,不容易察觉。
16.在边长为1的正中,向量,且则的最大值为________.
点评:
思路1.基底法.可选取为基底.
思路2.坐标法,关键是D,E两点坐标表示.
17.如图所示,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°.且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.λ+μ=6.
18.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是________.2
点评:
思路1.利用,得,基本不等式求得(有漏洞:
x、y可能为负数!
).
思路2.坐标法,设,得求解.
思路3.几何法,设AB交OC于T,,由A、T、B三点共线得.
19.(2019届高一3月考16)在扇形中,点为弧上的动点,点可与点或重合,若,则的最大值为。
20.(2017届武汉四月调考理科16)已知的外接圆圆心为,且,若,则的最大值为.
21.在中,已知,,,为线段上的一点,且则的最大值为(C)
A. B. C. D.
点评:
由条件可得,CA=3,CB=4.由三点共线可得,再消元或凑基本不等式求解.
22.【2014天津,理8】已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则(C)
(A)(B)(C)(D)
23.【2013山东,理15】已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为__________.
24.如右图,,点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是__________,当时,的取值范围是__________.
类型3.向量数量积、(三点)共线定理、投影
常见处理方法:
定义,几何意义(投影),坐标,向量转化(基底)
25.在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则实数λ等于( B )
A. B.
C. D.
26.正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
27.已知中,,若是边上的动点,求的取值范围.
点评:
思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.
思路2.坐标法,以BC为x轴.
28.【2015高考天津,理14】在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为__________.
29.【2015高考福建,理9】已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于(A)
A.13B.15C.19D.21
30.【2014江苏,理12】如图在平行四边形中,已知,,则的值是.22
A
D
C
B
P
31.(2012·江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
32.已知中,,若是边上的动点,求的取值范围.
点评:
思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.
思路2.坐标法,以BC为x轴.
33.在边长为1的正中,向量,且则的最大值为________.
点评:
思路1.基底法.可选取为基底.
思路2.坐标法,关键是D,E两点坐标表示.
34.(16上期中)如图所示,在中,,且,则________.
点评:
思路1.基底法.可选取为基底.
思路2.坐标法,关键是C点坐标表示.
思路3.几何法,过C作AD的垂线,运用投影意义.
类型4.三角形形状、面积问题
35.【2015高考安徽,理8】是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是(D)
(A)(B)(C)(D)
36.已知中,,是内部一点,且,则________.(余弦定理,面积公式,面积和,三项和平方公式)
37.已知的面积为,是三角形的某个内角,是平面内一点,且满足,则下列判断正确的是()
A.的最小值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为
38.【2014山东.理12】在中,已知,当时,的面积为________.
39.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( C ).
A.b=a3B.C.D.
40.在四边形中,,,则四边形的面积为__________.
41.的三边满足且,则的形状是(D)
A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
42.设P是ΔABC所在平面内的一点,且,则ΔPAB与ΔABC的面积之比为(C)
A.B.C.D.
43.【2013年.浙江卷.理7】设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则( D ).
A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°
C.AB=ACD.AC=BC
44.设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=,λ2=,λ3=,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3).若G是△ABC的重心,f(Q)=(,,),则( A )
A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内
C.点Q在△GCA内 D.点Q与点G重合
类型5.三角形“三线”、“四心”
45.在中,是的内心,若,其中,则动点的轨迹所覆盖的图形的面积为(A)
A.B.
C.D.
46.已知A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足.则P的轨迹一定通过的(C)
A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点
47.在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则实数λ等于( B )
A. B.
C. D.
48.已知为线段上一点,为直线外一点,为上一点,满足,,,且,则的值为(B)
A.B.3C.4D.
三角形“四心”知识点汇总
重心G
垂心H
外心O
内心I
示
意
图
定
义
三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。
性
质
(1)顶点与垂心连线必垂直对边,即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。
(2)若H在△ABC内,且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F,则A、F、H、E;B、D、H、F;C、E、H、D;B、C、E、F;C、A、F、D;A、B、D、E共六组四点共圆。
(3)△ABH的垂心为C,△BHC的垂心为A,△ACH的垂心为B。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
(1)内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。
类型6.创新题、知识点综合
49.(2012·安徽)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是( A )
A.(-7,-) B.(-7,)
C.(-4,-2) D.(-4,2)
点评:
思路1.三角函数的一般定义及和差公式.
思路2.向量夹角公式.
50.【2014年.浙江卷.理8】记,,设为平面向量,则(D)
A.
B.
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