平面几何轨迹问题分类例析.doc
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平面几何轨迹问题分类例析
近年来,在各地中考中出现了一类求动点轨迹的路径长的问题,由于较难确定动点轨迹的形状,往往导致学生无从下手.本文以部分中考题为例,就如何确定动点轨迹的形状进行分类解析,供读者参考.
一、直线型动点轨迹
事实上,要说明一动点轨迹为直线型(直线、射线或线段),必须证明两点:
第一、该轨迹恒过一定点(确定位置);第二、轨迹上任一点与该定点的连线和一定直线的夹角为定值或平行(明确方向).
例1(2013年湖州)如图1,已知点是第一象限内横坐标为的一个定点,轴于点,交直线于点.若点是线段上的一个动点,,,则点在线段上运动时,点不变,点随之运动.求当点从点运动到点时,点运动的路径长是___.
图1
解析如图2,由点位于、时,点所对应的位置、以及点在线段上运动,可猜想点的轨迹是线段.如何证明呢?
显然,点的轨迹已经过点,下面只需证明为定值,即证明它与某一个定角相等即可.
观察可得,就是与相等的
定角,再由两角的位置特征和题设条件,不难
想到用三角形相似来证明两角相等.
由,得
又易知,得∽,
所以为定值.
故点在线段上,
即线段就是点运动的路径(或轨迹).
同理可证∽,且相似比为,则.
图2
注例1利用角来确定动点的运动方向,还可用与定直线平行确定动点的运动方向.
例2(2010年桂林)如图3,已知=10,点、在线段上,且.是线段上的动点,分别以、为边在线段的同侧作等边和等边,连结,设的中点为.当点从点运动到点时,点移动路径的长是.
图3
解析如图4,分别延长、交于点,由可知,当点在线段上移动时,点、分别在线段、上移动.
图4
由,知//,
同理//.
所以四边形为平行四边形,得与互相平分.
又为的中点,故为中点.
连结、,设其中点分别为、,则//,且//,
所以与所在的直线重合,故点的运动轨迹的中位线,长度为3.
二、圆弧型动点轨迹
根据圆的定义可知,要确定动点的轨迹为圆弧型,只需证明动点到某一定点的距离为定值.
例3(2011年湖州)如图5,已知正方形的边长为2,顶点、分别在、轴的正半轴上,是的中点.(0,)是线段上一动点(点除外),直线交的延长线于点.
(1)求点的坐标(用含的代数式表示);
(2)当是等腰三角形时,求的值;
(3)设过、、三点的抛物线与轴正半轴交于点,过点作直线的垂线,垂足为(如图6),当点从点向点运动时,点也随之运动.请直接写出点所经过的路径长.
图5
解析
(1);
(2)分和三种情况讨论,可求得的值为于,和;
(3)动点到哪个定点的距离为定值呢?
由和、为定点,联想到连结,取其中点,则动点到定点的距离为定值,即点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆上的一段圆弧.
显然,当点无限接近点时,点趋向无穷远,与轴接近于平行,所以点无限接近于点;当点与点重合时,对应的位置点为轨迹的另一个端点,此时,可求得抛物线的解析式为,得点的坐标为(3,0).
图6
过点作轴的垂线于点,可得,得.
又,.
连结,由,知
.
由勾股定理,得,故点的轨迹长为.
三、图象型动点轨迹
建立适当的坐标系,求出动点坐标所满足的函数关系式,依据函数图象判定动点轨迹的形状.
例4(2012年福州)如图7,在中,,动点从点开始沿边向点以1个单位长度的速度运动,动点从点开始沿边向点以每秒2个单位长度的速度运动.过点作//,交于点,连结分别从点、同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为秒().
(1)直接用含的代数式分别表示:
=,=.
(2)是否存在的值,使四边形为菱形?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变的速度(匀速运动),使四边形在某一时刻为菱形,求点的速度.
(3)在整个运动过程中,求出线段中点所经过的路径长.
图7
解析
(1);
(2)四边形不可能为菱形.
当在上运动的速度为每秒个单位时,存在秒时,四边形为菱形;
(3)如图7,以点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,
设点的坐标为(),过点作轴于点,则//,
∽,得.
又,
得,故,
.
消去,得.
又由,得.
所以点的轨迹是以(3,0),(1,4)为端点的线段,
由两点之间距离公式得经过的路径长.
注本题也可直接求解:
当位于点处(即=0)时,与的中点重合,所以的轨迹必经过点.
当时,由图7,可知
则.
故,即为定值,
所以点的轨迹就是线段.
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