平行四边形和三角形的中位线专题培优.docx
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平行四边形和三角形的中位线
(二)
1、如图,过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH,若S四边形PHCF=5,S四边形PGAE=3,则S△PBD=_________.
2、如图,□ABCD中,M、N分别是AD、AB上的点,且BM=ND,其交点为P,求证:
∠CPB=∠CPD.
3、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ED,CA=CB,∠AED=∠ACB=α,以线段AC、AE为边作平行四边形ACFE,连接BF、DF.
(1)如图1,当α=90°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数;
(2)如图2,当0°<α<90°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数.
4、如图1,在△OAB中,∠OAB=900,∠AOB=300,OB=8.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求证:
四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长。
5、如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F为BE上一点且BF=CE,求证:
FK∥AB.
6、四边形ABCD中,AD∥BC,
(1)如图1,若E、F分别是AB、CD的中点,求证:
EF=(AD+BC)
(2)如图,2,若G、H分别是AB、CD的中点,求证:
GH<(AB+CD)
(3)如图3,连接AC、BD,若M、N分别是AC、BD的中点,求证:
MN<(BC—AD)
7、如图,点P是四边形ABCD的对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠CBD=45∘.∠ADB=105∘,试探究EF与PF之间的数量关系,并证明。
8、如图,将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转角α得到线段AD,同时边AC绕点A逆时针旋转角α得线段AE(α≠180°-∠BAC),连接BD、CE,分别作BD、BC、CE中点,M、P、N,连接MP、PN.
(1)如图1,若α=60°时,∠MPN=________;
(2)改变旋转方向,如图2,边AB绕点A逆时针旋转角α得AD,边AC绕点A顺时针旋转角α得到线段AE,其余条件不变,写出∠MPN与α之间的关系,并证明.
9、如图,在△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰Rt△ABM和等腰Rt△CAN,P是边BC的中点,求证:
PM=PN.
10、如图,在△ABC中,D、E是AC、BC的中点,BF=AB,BD与FC相交于G,连接EG,求证:
EG∥AC.
11、已知在△ABC中,AF、BE分别是中线,且相交于点P,记AB=c,BC=a,AC=b,如图.
(1)求证:
AP=2PF,BP=2PE;
(2)如图
(2),若AF⊥BE于P,试探究a、b、c之间的数量关系;
(3)如图(3),在平行四边形ABCD中,点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点,BE⊥EG,AD=4,AB=6,求AF的长.
12、如图,△ABC中,∠ACB=900,BC=6,AC=8,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角得到△DEC,设AD交EB于P,Q是BC的中点,连接PQ,在旋转过程中,求:
(1)∠BPA的度数
(2)PQ的最大值
反馈练习
1.如图,□ABCD的周长为32cm,AB:
BC=5:
3,AE⊥CB的延长线于E,AF⊥CD的延长线于F,∠EAF=2∠C,求AB、BC、AE、AF的长.
2、如图,□ABCD中,∠A与∠D的平分线交于点E,∠B与∠C的平分线交于点F,求证:
EF+BC=AB
3、如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,求∠EPF.
4、已知△ABC中,AB=10,AC=7,AD是角平分线,CM⊥AD于M,且N是BC的中点。
求MN的长。
5、已知M是线段AB的中点,从AB上另一点C任意引线段CD,设CD的中点为N,BD的中点为P,MN的中点为Q,求证:
直线PQ平分线段AC.
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