幂函数的图像与性质.doc
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幂函数的图像与性质.doc
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【知识结构】
1.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:
;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:
分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
例2
(1)计算:
;
(2)化简:
变式:
(2007执信A)化简下列各式(其中各字母均为正数):
(1)
(2)
(3)
(三)幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα(a∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数
注:
幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幂函数的是()
A. B. C. D.
例2.已知函数,当为何值时,:
(1)是幂函数;
(2)是幂函数,且是上的增函数;
(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数;
变式已知幂函数,当时为减函数,则幂函数.
2.幂函数的图像
幂函数y=xα的图象由于α的值不同而不同.
α的正负:
α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;
α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;
3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,)
值域
R
[0,)
R
[0,)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,)时,增;
x∈时,减
增
增
x∈(0,+)时,减;
x∈(-,0)时,减
定点
(1,1)
例3.比较大小:
(1)
(2)(3)(4)
4.幂函数的性质及其应用
幂函数y=xα有下列性质:
(1)单调性:
当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增;
当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减.
(2)奇偶性:
幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断.
例4.已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.
例5.已知幂函数的图象与轴都无交点,且关于轴对称,求的值,并画出它的图象.
变式:
已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.
(1)求函数f(x);
(2)讨论F(x)=a的奇偶性.
5.规律方法
(1).幂函数y=xα(α=0,1)的图象
(2).幂函数的图象
6.性质:
(1)幂函数的图象都过点;任何幂函数都不过象限;
(2)当时,幂函数在上;当时,幂函数在上;
(3)当时,幂函数是;当时,幂函数是.
x
O
y
例6右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是 ()
例7若点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象上,定义,试求函数的最大值以及单调区间。
例8若函数在区间上是递减函数,求实数的取值范围。
【巩固练习】
1.在函数中,幂函数的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
2、幂函数的图象都经过点()
A.(1,1)B.(0,1)C.(0,0)D.(1,0)
3、幂函数的定义域为()
A.(0,+¥)B.[0,+¥)C.RD.(-¥,0)U(0,+¥)
4.若幂函数在上是增函数,则()
A.>0 B.<0 C.=0 D.不能确定
5.若幂函数在(0,+∞)上是减函数,则()
A.>1 B.<1 C.=l D.不能确定
6.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是( )
A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数
7.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是( )
A.{x|-4≤x≤4} B.{x|0≤x≤4}
C.{x|-≤x≤} D.{x|0<x≤}
8.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值是( )
A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2
C.m=2 D.m=1
9、当x∈(1,+∞)时,函数)y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是
A、a<1 B、0<a<1 C、a>0 D、a<0
二、填空题:
11、若<,则a的取值范围是____;
12.函数的定义域为___________.
(A)(B)(C)(D)(E)(F)
13.幂函数y=f(x)的图象经过点,则满足f(x)=27的
x的值是________.
14.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,
n的大小关系为________.
幂函数的性质与图像测试
一、填空题
1.若幂函数的图像过点,则函数的解析式为__________.
2.已知函数是幂函数,则实数的值为__________.
3.幂函数的图像与两坐标无交点且关于轴对称,则的值等于_________.
4.设,已知幂函数是偶函数,且在区间上是减函数,则满足要求的值的个数是__________.
5.已知函数的图像的对称中心是,则函数的单调递减区间是_________.
6.已知幂函数的图像当时,在直线的上方;当时在直线的下方,则的取值范围是__________.
7.函数的图像可以看成由幂函数的图像向__________平移________个单位.
8.已知,则实数的取值范围是_________.
二、选择题
9.如图,、、、分别为幂函数图像上的点,且他们的纵坐标相同,若四个幂函数为①;②;③;④,则、、、与四个函数序号的对应顺序只可能是().
(A)①②③④ (B)②③④①
(C)②①③④ (D)③②①④
10.下列函数中,是奇函数且在上是增函数的是().
(A) (B)
(C) (D)
11.当时,下列函数的图像全在直线下方且为偶函数的是().
(A) (B)(C) (D)
12.设和是两个不同的幂函数,集合,则集合中元素的个数是()
(A)1或2或0 (B)1或2或3
(C)1或2或3或4 (D)0或1或2或3
三、解答题
13.研究函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,并画出其大致图像.
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- 关 键 词:
- 函数 图像 性质