高中数学复习方略课时作业76平行垂直的综合问题人教A版数学文四川专用文档格式.docx
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①PB⊥AD;
②平面PAB⊥平面PBC;
③直线BC∥平面PAE;
④直线PD与平面ABC所成的角为45°
.
则所有正确结论为()
(A)①②(B)②③(C)④(D)③④
6.已知三个不同的平面α,β,γ,a,b,c分别为平面α,β,γ内的直线,若β⊥γ且α与γ相交但不垂直,则下列命题为真命题的个数为()
①任意b⊂β,b⊥γ;
②任意b⊂β,b∥γ;
③存在a⊂α,a⊥γ;
④存在a⊂α,a∥γ;
⑤任意c⊂γ,c∥α;
⑥存在c⊂γ,c⊥β.
(A)2个(B)3个(C)5个(D)6个
7.已知点O为正方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD的中心,则下列结论正确的是()
(A)直线OA1⊥平面AB1C1(B)直线OA1∥直线BD1
(C)直线OA1⊥直线AD(D)直线OA1∥平面CB1D1
8.(能力挑战题)在正四面体ABCD中,棱长为4,
M是BC的中点,P在线段AM上运动(P不与A,M
重合),过点P作直线l⊥平面ABC,l与平面BCD
交于点Q,给出下列命题:
①BC⊥平面AMD;
②Q点一定在直线DM上;
③VC-AMD=4
其中正确的是()
(A)①②(B)①③
(C)②③(D)①②③
二、填空题
9.设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:
①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;
②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α;
④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.
其中正确命题的序号是____________.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,
底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,
D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=__________
时,CF⊥平面B1DF.
11.(能力挑战题)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,
AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿
AE折起.下列说法正确的是____________.(填上所有正
确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
三、解答题
12.(2013·
岳阳模拟)如图所示的多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E,F分别为AD,BP的中点,AD=3,AP=5,PC=2
(1)求证:
EF∥平面PDC.
(2)若∠CDP=90°
,求证BE⊥DP.
(3)若∠CDP=120°
,求该多面体的体积.
13.如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.
平面ABC⊥平面ACD.
(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比.
14.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形,∠ADD1=120°
,点E为A1B1的中点,点P,Q分别为BD,CD1上的动点,且
(1)当平面PQE∥平面ADD1A1时,求λ的值.
(2)在
(1)的条件下,设N为DD1的中点,求多面体ABCD-A1B1C1N的体积.
15.(能力挑战题)如图,在△BCD中,∠BCD=90°
,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°
,E,F分别是AC,AD上的动点,且
(0<
λ<
1).
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明.
(2)是否存在λ,使得平面BEF⊥平面ACD?
如果存在,求出λ的值;
如果不存在,说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.当b⊂α时,若α⊥β,b不一定垂直于β.故C错误.
2.【解析】选C.连接CM,∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,
∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
【误区警示】本题易由于作图不准确,凭借直观感觉认为PC最长,从而误选B.
3.【解析】选D.因BC∥DF,所以BC∥平面PDF,A成立;
易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;
点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.
4.【解析】选C.由垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,可知②③正确.
5.【解析】选C.∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直,∴①不成立;
又平面PAB⊥平面PAE,∴平面PAB⊥平面PBC也不成立,即②不成立;
∵BC∥AD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立,即③不成立;
在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°
,∴④正确.
6.【解析】选A.④a平行于α与γ的交线即可;
⑥c垂直于β与γ的交线即可.
7.【解析】选D.设E为D1B1中点,根据正方体的性质可知A1E=OC,A1E∥OC,
∴四边形A1ECO为平行四边形,
则A1O∥EC,
而A1O
平面CB1D1,EC⊂平面CB1D1,
∴直线OA1∥平面CB1D1,
故选D.
8.【解析】选A.连接MD,对于①,由于该几何体为正四面体,点M为BC边上的中点,所以BC⊥AM,BC⊥DM,从而BC⊥平面AMD,故①正确;
对于②,由
BC⊥平面AMD得平面AMD⊥平面ABC,又直线l⊥平面ABC,所以直线l一定在平面AMD内,l与DM不平行,故②正确;
对于③,取AD中点N,连接MN,易知
MN⊥AD,在等腰三角形AMD中,
故③错,故选A.
【变式备选】点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列三个命题中正确的个数是()
①三棱锥A-D1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1.
(A)0(B)1(C)2(D)3
【解析】选C.因为BC1∥AD1,所以直线BC1∥平面ACD1,则点P到平面ACD1的距离为定值,所以
为定值,故①正确;
又平面A1C1B∥平面ACD1,
A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,故②正确,显然③错,故选C.
9.【解析】①错误,l可能在平面α内;
②正确;
③错误,直线可能与平面相交;
④正确.故填②④.
答案:
②④
10.【解析】由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,
得
即
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
a或2a
11.【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,连接PM,PQ,QN,DC.
则PM
AE,NQ
BC,
∴PM
NQ,∴四边形PMNQ为平行四边形,
∴MN∥PQ.
又MN
平面DEC,PQ⊂平面DEC,
∴MN∥平面DEC,
故①正确.
又AE⊥ED,AE⊥EC,DE∩EC=E,
∴AE⊥平面DEC,∴AE⊥PQ,∴AE⊥MN,
故②正确.
由MN∥PQ,PQ与EC相交知MN与EC不平行,
从而MN与AB不会平行.
①②
12.【解析】
(1)取PC的中点为O,连接FO,DO,
∵F,O分别为BP,PC的中点,
∴FO∥BC,且FO=
BC.又四边形ABCD为平行四边形,
∴ED∥BC,且ED=
∴FO∥ED,且FO=ED,
∴四边形EFOD是平行四边形,
即EF∥DO.又EF
平面PDC,DO⊂平面PDC,
∴EF∥平面PDC.
,则DP⊥DC.又AD⊥平面PDC,
∴AD⊥DP,∵AD∩DC=D,∴DP⊥平面ABCD.
∵BE⊂平面ABCD,∴BE⊥DP.
(3)连接AC,由四边形ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等,
∴三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等,
即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP.由AD=3,AP=5,可得DP=4.又∠CDP=120°
,PC=2
,
由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0,解得DC=2,
∴三棱锥P-ADC的体积
∴该五面体的体积为
【变式备选】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°
,且AB=AA1=2,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
求证:
(1)DE∥平面ABC.
(2)B1F⊥平面AEF.
【证明】
(1)取AB的中点G,连接DG,GC,
则DG
BB1,又∵EC
BB1,∴DG
EC,
∴四边形DECG是平行四边形,∴DE∥GC.
又GC⊂平面ABC,DE
平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(2)∵△ABC为等腰直角三角形,F为BC的中点,
∴BC⊥AF.
又B1B⊥平面ABC,∴AF⊥B1B.又B1B∩BC=B,
∴AF⊥平面BB1F,∴B1F⊥AF.
∵AB=AA1=2,易求得
∴B1F2+EF2=B1E2,∴B1F⊥EF,
又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF.
13.【解析】
(1)由题设知AD⊥DE.因为平面ADE⊥平面BCDE,根据面面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC,由CD⊥BC,AD∩CD=D,根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD.
又因为BC⊂平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACD.
(2)如图,设平面α与平面ACD、平面ADE、平面ABE、平面BCDE的交线分别为QM,QP,PN,MN,由于平面α∥平面ABC,
故MQ∥AC.
因为M是CD的中点,故Q是AD的中点,同理
MN∥BC,N为BE的中点,NP∥AB,P为AE的中点,
故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形是四边形MNPQ.
由于点P,Q分别为AE,AD的中点,所以PQ∥DE.又DE∥BC,BC∥MN,
故PQ∥MN.由
(1)知BC⊥AC,
又MN∥BC,MQ∥AC,所以MQ⊥MN,所以四边形MNPQ是直角梯形.
设CM=a,则MQ=
a,MN=3a,PQ=a,BC=4a,AC=2
a,
故四边形MNPQ的面积是
△ABC的面积是
所以平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成的多边形的面积与△ABC的面积之比为
14.【解析】
(1)由平面PQE∥平面ADD1A1,得点P到平面ADD1A1的距离等于点E到平面ADD1A1的距离.而四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形,
∴DC⊥AD,DC⊥DD1,又AD∩DD1=D,
∴DC⊥平面ADD1A1,∴A1B1⊥平面ADD1A1.
又∵E是A1B1的中点,∴点E到平面ADD1A1的距离等于
∴点P到平面ADD1A1的距离等于
,即点P为BD的中点,∴
(2)连接B1D1,由
(1)知DC⊥平面ADD1A1,可知A1B1⊥平面ADD1A1,
∴
由CC1∥平面BB1D1D,得点C1到平面BB1D1D的距离等于点C到平面BB1D1D的距离,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对称性,知点C1到平面BB1D1D的距离等于点A1到平面BB1D1D的距离,
由
(1)得DC⊥平面ADD1A1,而DC=1,
菱形ADD1A1的面积S=AD·
DD1sin∠ADD1=1×
1×
sin120°
=
∴平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=S·
AB=
×
1=
∴多面体ABCD-A1B1C1N的体积V′=
-
15.【思路点拨】
(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由
知EF∥CD,由∠BCD=90°
及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由于CD⊥平面ABC,即BE⊥CD,故只需满足BE⊥AC即可.
【解析】
(1)EF⊥平面ABC.
证明如下:
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
在△BCD中,∠BCD=90°
,∴BC⊥CD.
又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
在△ACD中,
=λ(0<
1),
∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.
(2)∵CD⊥平面ABC,BE⊂平面ABC,
∴BE⊥CD,
故要使平面BEF⊥平面ACD,只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中,∠ADB=60°
∴AB=BDtan60°
=
则
当BE⊥AC时,
即λ=
时,BE⊥AC.
又BE⊥CD,AC∩CD=C,
∴BE⊥平面ACD.
∵BE⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面ACD.
∴存在λ=
时,平面BEF⊥平面ACD.
【变式备选】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°
的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
AD⊥PB.
(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?
如果存在,请说明F点的位置;
如果不存在,请说明理由.
(1)如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.
∵△PAD为等边三角形,
∴PG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
可得PG⊥平面ABCD.
在△ABD中,∠DAB=60°
AD=AB,
∴△ABD为等边三角形,∴BG⊥AD.又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)F为PC中点时,平面DEF⊥平面ABCD.
理由如下:
连接CG,DE,且CG与DE相交于点H,
在△PGC中作HF∥PG,交PC于点F,连接DF,EF,则FH⊥平面ABCD,
∴平面DEF⊥平面ABCD.
∵菱形ABCD中,G,E分别为AD,BC的中点,即得知H是CG的中点,
∴F是PC的中点,
∴在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF⊥平面ABCD.
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