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原式=(3+99)×
25÷
2=1275。
例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:
末项=25+3×
(40-1)=142,
和=(25+142)×
40÷
2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
分析:
最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:
由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
(1)最大三角形面积为
(1+3+5+…+15)×
12
=[(1+15)×
8÷
2]×
=768(厘米2)。
(2)火柴棍的数目为
3+6+9+…+24
=(3+24)×
2=108(根)。
答:
最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。
例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;
第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
一只球变成3只球,实际上多了2只球。
第一次多了2只球,第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后,多了
2×
1+2×
2+…+2×
10
=2×
(1+2+…+10)
55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:
(3-1)×
(1+2+…+10)+3
[(1+10)×
10÷
2]+3=113(只)。
练习3
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
答
案
1.
(1)10100;
(2)336;
(3)440;
(4)780。
2.1127。
提示:
项数=(93-5)÷
4+1=23。
3.2565。
末项=13+5×
(30-1)=158。
4.180次。
解:
(1+2+…+12)×
2+24=180(次)。
5.1650。
2+5+8+…+98=1650。
6.45个。
提示:
十位数为1,2,…,9的分别有1,2,…,9个。
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题。
许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。
小梅家的鸡与兔各有多少只?
假设16只都是鸡,那么就应该有2×
16=32(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况多了44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了2只。
因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔的只数。
有兔(44-2×
16)÷
(4-2)=6(只),
有鸡16-6=10(只)。
有6只兔,10只鸡。
当然,我们也可以假设16只都是兔子,那么就应该有4×
16=64(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况少了64-44=20(只)脚,这是因为把鸡当作兔了。
我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了4-2=2(只)。
因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数。
有鸡(4×
16-44)÷
(4-2)=10(只),
有兔16——10=6(只)。
由例1看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后以兔换鸡;
也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔。
因此这类问题也叫置换问题。
例2100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。
大、小和尚各有多少人?
本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300-140=160(个)。
现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3——1=2(个),因为160÷
2=80,故小和尚有80人,大和尚有
100-80=20(人)。
同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试。
在下面的例题中,我们只给出一种假设方法。
例3彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。
两种文化用品各买了多少套?
我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚。
这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品,则共需19×
16=304(元),比实际多304——280=24(元),现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19——11=8(元),所以
买普通文化用品24÷
8=3(套),
买彩色文化用品16-3=13(套)。
例4鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。
鸡、兔各多少只?
假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180(只)。
现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只),而180÷
6=30,因此有兔子30只,鸡100——30=70(只)。
有兔(2×
100——20)÷
(2+4)=30(只),
有鸡100——30=70(只)。
有鸡70只,兔30只。
例5现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。
大、小瓶各有多少个?
本题与例4非常类似,仿照例4的解法即可。
小瓶有(4×
50-20)÷
(4+2)=30(个),
大瓶有50-30=20(个)。
有大瓶20个,小瓶30个。
例6一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?
要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×
36=144(吨)。
根据条件,要装完这144吨钢材还需要45-36=9(辆)小卡车。
这样每辆小卡车能装144÷
9=16(吨)。
由此可求出这批钢材有多少吨。
4×
36÷
(45-36)×
45=720(吨)。
这批钢材有720吨。
例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0.24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿1.26元,结果搬运站共得运费115.5元。
搬运过程中共打破了几只花瓶?
假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破,那么应得运费0.24×
500=120(元)。
实际上只得到115.5元,少得120-115.5=4.5(元)。
搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+1.26=1.5(元)。
因此共打破花瓶4.5÷
1.5=3(只)。
(0.24×
500-115.5)÷
(0.24+1.26)=3(只)。
共打破3只花瓶。
例8小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。
已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?
利用假设法,假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样,那么两人跳的总数减少了
12×
(2+3)=60(下)。
可求出小乐每分钟跳
(780——60)÷
(2+3+3)=90(下),
小乐一共跳了90×
3=270(下),因此小喜比小乐共多跳
780——270×
2=240(下)。
练习13
1.鸡、兔共有头100个,脚350只,鸡、兔各有多少只?
2.学校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120个学生进行活动。
象棋与跳棋各有多少副?
3.班级购买活页簿与日记本合计32本,花钱74元。
活页簿每本1.9元,日记本每本3.1元。
买活页簿、日记本各几本?
4.龟、鹤共有100个头,鹤腿比龟腿多20只。
龟、鹤各几只?
5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。
贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。
贺年卡、明信片各买了几张?
6.一个工人植树,晴天每天植树20棵,雨天每天植树12棵,他接连几天共植树112棵,平均每天植树14棵。
这几天中共有几个雨天?
7.振兴小学六年级举行数学竞赛,共有20道试题。
做对一题得5分,没做或做错一题都要扣3分。
小建得了60分,那么他做对了几道题?
8.有一批水果,用大筐80只可装运完,用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克,那么这批水果有多少千克?
9.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。
现有三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。
每种小虫各有几只?
10.鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只。
鸡、兔各几只?
1.兔75只,鸡25只。
2.象棋9副,跳棋17副。
3.活页簿21本,日记本11本。
4.30只龟,70只鹤。
5.贺年卡5张,明信片9张。
6.6天。
7.15道。
8.4800千克。
解:
[(80×
20)÷
(120-80)]×
120=4800(千克)。
9.5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。
把小虫分成8条腿与6条腿两种,先求出蜘蛛的数。
10.兔18只,鸡14只。
由于鸡换成兔,兔换成鸡,脚的只数少了8只,故原来的兔比鸡多4只。
减去这4只兔,则鸡、兔一样多,并且共有脚100-4×
4=84(只),所以,
鸡有84÷
(4+2)=14(只),
兔有14+4=18(只)。
(1)5678+1999=
(2)8765-1998=
2,(8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639)÷
7=
3,
(1)99999×
22222+33333×
33334=
(2)66666×
10001+66666×
6666=
4,
(1)2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
(2)1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5,在19和91之间插入5个数,使这7个数构成一个等差数列,写出插入的5个数。
6,判断:
12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
7,19991999×
19991998-19992000×
19991997=
8,19981999×
19991998-19981998×
19991999=
1计算
(1)5678+1999=5678+(2000-1)=5678+2000-1
=7677
(2)8765-1998
=8765-(2000-2)
=8765-2000+2
=6768
7
=(8640+1+8640+2+8640+3+8640+1+8640+3+8640-2+8640-1)÷
=(8640×
7+7)÷
=8641×
7÷
=8641
33334
=33333×
66666+33333×
(66666+33334)
=33333×
100000
=3333300000
6666
=11111×
(6×
10001+6×
6666)
100002
=1111122222
4,
(1)2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100
=(2+100)×
50÷
2
=2550
(2)1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101
=165750(把3个数看成一组计算出结果结果是一个等差数列)
答案:
3143556779
偶数把数分为2组一组奇一组偶发现奇有38个偶数有37个加起来还是偶数
19991997
=19991999×
(19991999-1)-(19991999+1)×
(19991999-2)
=2
19991999
=(19981998+1)×
(19991999-1)-19981998×
=10000
9+99+999+9999+99999=
2,199999+19999+1999+199+19=
3,(2+4+6+8+10+……+1886+1888)—(1+3+5+7+9+……+1885+1887)=
4,9999×
2222+3333×
3334=
5,56×
32+56×
27+56×
96-56×
57+56=
6,98766×
98768-98765×
98769=
1,计算9+99+999+9999+99999
在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
2,计算199999+19999+1999+199+19
此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
3,计算(2+4+6+…+996+998+1000)--(1+3+5+…+995+997+999)
分析:
题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差,如果按照常规的运算法则去求解,需要计算两个等差数列之和,比较麻烦。
但是观察两个扩号内的对应项,可以发现2-1=4-3=6-5=…1000-999=1,因此可以对算式进行分组运算。
解法一、分组法
(2+4+6+…+996+998+1000)-(1+3+5+…+995+997+999)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(996-995)+(998-997)+(1000-999)
=1+1+1+…+1+1+1(500个1)
=500
解法二、等差数列求和
=(2+1000)×
500÷
2-(1+999)×
=1002×
250-1000×
250
=(1002-1000)×
4,计算9999×
3334
此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×
3,规律就出现了.
9999×
=3333×
3×
6666+3333×
(6666+3334)
10000
=33330000.
3+56×
27+56×
96-56×
57+56
乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况,在计算加减混合运算时要特别注意,提走公共乘数后乘数前面的符号。
同样的,乘法分配率也可以反着用,即将一个乘数凑成一个整数,再补上他们的和或是差。
56×
=56×
(32+27+96-57+1)
99
(100-1)
100-56×
1
=5600-56
=5544
6,计算98766×
98769
将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律,将98766拆成(98765+1),将98769拆成(98768+1),这样就保证了减号两边都有相同的项。
98766×
=(98765+1)×
(98768+1)
=98765×
98768+98768-(98765×
98768+98765)
98768+98768-98765×
98768-98765
=98768-98765
=3
1.仔细观察每一排数的排列有什么规律,然后按规律在()内填上适当的数.
(1)2,4,8,16,(),64.
(2)1,4,9,16,(),36,49.64.
(3)1,4,7,10,13,(),19,21.
(4)1,4,16,64,(),1024,4096.
(5)2,3,5,9,17,(),65,129.
2.在○中填数:
已知9999÷
9=1111,想一想:
在○中填上什么数字,才能使下面的等式成立?
(1)○999○÷
9=2222;
(2)○999○÷
9=3333;
(3)○999○÷
9=4444;
(4)○999○÷
9=7777;
(5)○999○÷
9=9999.
1.
(1)32
(2)25(3)16(4)256(5)33
2.
(1)19998
(2)29997(3)39996(4)69993(5)89991
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
一次最少摸出几个球,才能保证至少有4个小球颜色相同?
2,口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个,为保证这n个小球至少有5个同色,n的最小值是多少?
3,一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。
在乐乐之前已就座的最少有几人?
4,一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
5,在一副扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中四种花色都有?
、123+234+345+456+567+678=
2、4999+499+49=
3、25×
(877+872+871+876)=
4、888×
(99+25+1)=
5、65×
128+174×
65-65×
202=
1.2403
2.5547
3.87400
4.111000
5.6500
、31+46+32+47+33+48+34+49=
2、125×
7×
64÷
8=
3、1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60=
4、90÷
(9÷
8)÷
(8÷
7)÷
(7÷
6)÷
(6÷
5)=
1、320
2、7000
3、570
4、50
(2)1000+999-998+997+996
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