相似三角形等积式比例式知识分享Word格式.docx
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bP=PE・PF。
分析:
因为BPPEPF三条线段共线,找不到两个三角形,所以必须考虑等线段代换等其他方法,因为AB=ACD是BC中点,由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线,如果我们连结PC,由线段垂直平
分线的性质知PB=PC只需证明厶PE3APCF,问题就能解决了。
证明:
A
(1)AC=3BC=4;
(2)AC=二,AD=2
143
(3)AD=5DB=,;
(4)BD=4AB=29
运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理,已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。
解:
Rt△ABC中,/ACB=90,CDLAB于D,
例3.如图,已知:
在△ABC中,/BAC=90,ADLBC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于F。
•••/ADB=/ADC=/BAC=90,
•••/1+Z2=90°
Z2+ZC=9C°
AS_3D
ac=7d
(1)vAC=3BC=4由勾股定理得AB=厶少+月凸=石顶=5,
AC32
•/aC=AD・AB,•••AD=----=,
916
•BD=AB-AD=5-=-,
•/cd-ab=ac-BC
ACSC12
•CD=--:
(或禾U用cD=ad・bd来求)
5
(2)VAC=-,AD=2,AC=AD・AB
239
•/bd=ab-ad•bd=--2=,
•/BC=BD・AB,且BC>
JSD-AE
•BC=
14£
(3)vad=5db=:
且cD=ad・BD,
-JAD-ED=
•CD=1=12
1®
ab=ad+bd=-
•/aC=AD・AB,
(4)BD=4AB=29,bC=BD・AB,
•BC=/'
•'
八-..4=2±
/•AD=AB-BD=29-4=25
AC=■z,-■.-'
=5■,…
•/cD=ad・bd,
CD='
■■■1'
F■'
-■'
4=10
£
3
例5.已知:
如图,矩形ABCD中,AB:
BC=5:
6,点E在BC上,点F在CD上,EC=-BCFC=-CD
FGLAE于G
图中有直角三
(k>
0),贝UEC=-BC=k,
角形,充分利用直角三角形的知识,设AB=5kBC=6k
33
FC=:
CD=-AB=3k,得DF=2k,由勾股定理可得
AG=4GE
AE=AB+Bh=50k2,EF2=EC?
+FC2=10k2,AF2=AE2+DF'
=40k2,所以A^=eF'
+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE又因为FG丄AE具备双垂直条件,问题的解决就有了眉目。
•••AB:
BC=56,
•••设AB=5k,BC=6k(k>
0),
.在矩形ABCD中,有
CD=AB=5k,BC=AD=6k,/B=ZC=ZD=9C°
[£
•/EC=BC,•EC=■-X6k=k,•BE=5k,
•/FC=:
CD,•FC=-X5k=3k,•DF=CD-FC=2k
在Rt△ADF中,由勾股定理得
AF2=AD2+D^=36k2+4k2=40k2,
同理可得Ah=50k2,EF2=1Ck2,
222222
•AF+EF=4Ck+1Ck=5Ck=AE,
•△AEF是Rt△(勾股定理逆定理),
•/FG丄AE,AFE^AFGE
•EF"
=GE-AE,VAE='
■'
J=5k
EFT_iota
...Ge=丄亠'
=「k,•4GE=4k,
•AG=AE-GE=5'
■;
k-'
k=4'
k,
•AG=4GE.
例6.已知:
如图,Rt△ABC中,/ACB=9CC,CD!
AB于D,DEIAC于E,DF丄BC于F。
AE-BF•AB=CD。
证明:
Rt△ABC中,/ACB=90,CD!
AB,
•••cD=ad・BD,
•••CD=AD•BD2,
又•/Rt△ADC中,DELAC,Rt△BDC中,DF丄BC,
2—2亠
•AD=AE・AC,BD=BF・BC,
•CD=AE・BF-AC-BC,
又•/AC-BC=ABCD
•CD=AE・BF-AB-CD
•AE-BF-AB=CD
说明:
本题几次用到直角三角形中的重要等积式。
请同学们熟记这些重要的等积式,并能运用它们解决问题。
测试
选择题
1如图所示,在矩形ABCD中,AE1BD于E,S矩形=40cmf,Saabe:
Sadbq1:
5,贝UAE的长为()
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
2.
AE交BD于点F,已知BE:
EC=3:
1,Safbe=18,贝USafda
女口图,在口ABCD中,E是BC上的一点,的大小为()。
32D.12
如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,
则厶AEG的面积与四边形BEG啲面积比为
A.1:
2B.1:
4
C.4:
9D.2:
4.如图,△ABC的底边BC=a,高AD=h,矩形GH都在BC上,且EF=2FG则矩形EFGH的周长是(ah
A十b卫用十d
EFGH内接于△ABC其中E、F分别在边ACAB上,
)。
ah6h
C.2h-nd.如十g
5.女口图,在△ABC中,/B=ZADE^ZCAD阴頁,设△EBD△ADC△ABC的周长依次为m、m>
>
m。
那么的值是()。
35
A.2B.4C.-D.4
答案与解析
答案:
1、A2、C3、C4、B5、D
解析:
1.解•/ZBAD=90°
AE丄BD
•••S
△ABE:
SaDBA=Ab:
△ABE^ADBA
•S△ABE:
Sadba^—1:
5,•AB2:
DB=1:
5,
•AB:
;
。
设AB=k,DB=--k,
则AD=
J屁—朗■独。
2
•S矩形=40cm,•k•2k=40。
•k=2--'
•BD=k=10,AD=4-。
1
Saabd=?
BD-AE=20,•2•10AE=20
•AE=4(cm)。
故选Ao
2.Co
3.分析易证△ABF^ADAE故知BF=AEO
因AE:
EB=2:
1,故可设AE=2x,EB=x,贝UAB=3x,BF=2x。
由勾股定理得AF=「•「=・'
"
易证AAG0AABFO
可得Saage:
Saabf=AE2:
A『=(2x)2:
(岳)2=4:
13o
可得SaAGE:
S四边形BEGF=4:
9。
故选Co
FG与高AD=h的关系。
由EF
4•分析:
由题目条件中的EF=2FG得,要想求出矩形的周长,必须求出//BC得厶AFE^AABC贝UEF与高h即可联系上。
设FG=x,贝U
•/EF=2FG•EF=2x。
•/EF//BC,•△AFE^AABG
又ADLBC,设AD交EF于M贝UAM丄EF。
AOBC
o
ah
解之,得x=「“
•••矩形EFGH的周长为6x=-n。
评注:
此题还可以进一步求出矩形的面积。
若对题目再加一个条件:
A吐AC,那么还可证出F&
=BG-CH
通过这些联想,就会对题目的内在的联系有更深的理解,也会提高自己的数学解题能力。
5.解析:
由/CAD=ZADE得AC//DE,•△ABSAEBD,又/B=ZCAD/C=/C,AB3ADAC
•••△AB3AEBD^ADAC即厶EBMADASAABC再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。
中考解析
例1.(重庆市)如图,在△ABC中,/BAC=90°
D是BC中点,AE±
AD交CB延长线于点E,则结论正确的是()
(A)AAED^AACB(B)AAEB^AACD(C)ABAE^AACE(D)AAEC^ADAC
考点:
评析:
思路:
根据相似三角形的判定方法,用排除法结合条件易选出正确选项。
答案为C.
例2.(河北省)已知:
如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=ACDEIBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。
(1)求证:
△ABC^AFCD
(2)若S“cc=5,BC=10,求DE的长。
相似三角形的性质、等腰三角形的性质
第1问因AD=AC「・/ACBHCDF又D是BC中点,ED±
BCB=ZECD•△ABSA
FCD
第2问利用相似三角形的性质,作AMLBC于M,易知Saabc=4Safcd。
:
Saabc=20,AM=4又tAM//ED
EDRD
再根据等腰三角形的性质,及中点,可以求出DE
(1)TDELBC,D是BC中点,
•EB=ECB=Z1.
又•••AD=AC「・/2=ZACB
•△ABC^AFCD.
(2)[方法一]:
过点A作AMLBC,垂足为点M.
•••△ABC^AFCDBC=2CD
$逊住_严牛
EgCD
又TSafce=5,••Saab(=20.
•••Saabc=jBC-AIMBC=1Q•20=JX10XAM,•AM=4.
DFSD
又•••DE//AM
丄21
•••DM=-DC=丄,BM=BD+DMBD=‘BC=5,
又•••FH//AM,
DE_FH
而=丽
亠,•点H是DM的中点.
又•••FH//DE
FHHC
~DE=~DC
L5
•/HC=HM+MC=
15
-,•DE=-
例3.(河南省)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形。
(1)当ACCDDB满足怎样的关系时,△ACP^APDB
(2)当厶AC3APDB时,求/APB的度数。
相似三角形的判定及性质。
本题是一个探索型的,它给出了一个条件,让你自己再添加一个条件,可使两个三角形相似,因此,首先想到相似的判定方法,因又限制了三条边关系,所以是以应边就成比例。
当相似了对应角相等,易求/APB
(1)v^PCD是等边三角形,
•••/PCDMPDC=60,PD=PC=CD
从而/ACP玄PDB=120
•当」」时,△ACP^APDB即当cD=AC・BD时,△ACNAPDB
(2)当厶AC3APDB时,/APC=ZPBD.
•••/APB=/APC+ZCPD+ZDPB
=ZPBD+60+ZDPB
=60°
+60°
=120°
.
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