导数的经典练习题.docx
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导数经典练习题及详解答案
1.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为 ()
A.0 B. C. D.
2.函数的单调递减区间是()
A.B.C. D.
3.点P在曲线上移动,设点P处切线倾斜角为α,则α的取值范围是()
A.[0,] B.0,∪[,π
C.[,π D.(,
-2
2
O
1
-1
-1
1
4.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()
O
-2
2
1
-1
-2
1
2
O
-2
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4
1
-1
-2
1
2
O
-2
2
-1
2
4
A
B
C
D
5.对于函数,下列结论中正确的是( )
A.有极小值0,且0也是最小值 B.有最小值0,但0不是极小值
C.有极小值0,但0不是最小值 D.0既不是极小值,也不是最小值
6、若,则k=()
A、1B、0C、0或1D、以上都不对
7.已知函数时,则( )
2,4,6
A. B.
C. D.
8.设函数的导函数,则数列的前n项和是A.B. C.D.
9.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为()
A[-,+∞B.(-∞,-3) C.(-∞,-3)∪[-,+∞0D.[-,]
10.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则 ()
A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
11.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ()
A. B. C. D.
12.如图所示的是函数的大致图象,则等于 ()
A. B.
C. D.
13.设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_________.
14.已知曲线交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则 △ABP的面积为;
15.函数在定义域内可导,其图
象如图,记的导函数为,
则不等式的解集为_____________
16.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。
17.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.
18.(12分)已知函数(a∈R).
(1)若在[1,e]上是增函数,求a的取值范围;
(2)若a=1,a≤x≤e,证明:
<
19.(12分)20090520
已知函数(为自然对数的底数)
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)设不等式的解集为P,且,求实数a的取值范围;
20.(12分)已知
(1)当a=1时,求的单调区间;
(2)是否存在实数a,使的极大值为3?
若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
21.(12分)已知函数的图像与函数的图象相切,记
(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;
(2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围。
22.(14分)已知函数为大于零的常数。
(1)若函数内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数在区间[1,2]上的最小值。
答案解析
1.B解析:
y′=(x+2cosx)′=1-2sinx,令1-2sinx=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[,]时,≤0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f().故选B
2.C;解析:
求该函数得导函数,解不等式求得小于零的区间即可;
3.B;解析:
导函数的取值范围正好对应切线斜率的范围,再求倾斜角的范围即可;
5.A6.A7.D;解析:
∵∴f(x)在区间上单调递增;又(x)=f(),∴f(x)关于x=对称,故选D.
8.A;解析:
的原函数为得m=2,再求的形式即可;
9.C;=x2+2ax+5,则f(x)在[1,3]上单调减时,由,得a≤-3;
当f(x)在[1,3]上单调增时,=0中,⊿=4a2-4×5≤0,或,
得a∈[-,]∪[,+∞].
综上:
a的取值范围是(-∞,-3)∪[-,+∞],故选C.
10.B;解析:
由f(x)=f(2-x)可知,f(x)的图像关于x=1对称,根据题意又知x∈(-∞,1)时,>0,此时f(x)为增函数,x∈(1,+∞)时,<0,f(x)为减函数,所以f(3)=f(-1) 11.A;解析: 曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0,-),围成的三角形面积为,故选A。 12.C;解析: 由图象知的根为0,1,2, 的两个根为1和2. 的两根, 二、填空题 13.解析;本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念.属于基础知识、基本运算的考查.取,如图,采用数形结合法,易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填. 14.;解析: 先求出交点坐标为(1,1),再分别求出两曲线在该点处的切线方程,求出A、B、P三点坐标,再求面积; 15.解析: 由函数的单调性判断 16.—1解析: =,x>时,<0,f(x)单调减,当- (1)==,a=—1 三、 17.解: (1)设切线的斜率为k,则k==2x2-4x+3=2(x-1)2+1,…………2分 当x=1时,kmin=1.又f (1)=,所以所求切线的方程为y-=x-1, 即3x-3y+2=0.……………………6分 (2)=2x2-4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数,必须满足>0,即对任意的x∈(0,+∞),恒有>0,=2x2-4ax+3>0,……………………8分 ∴a<=+,而+≥,当且仅当x=时,等号成立. 所以a<,……………11分 所求满足条件的a值为1……………12分 18.解: (1)∵,且在[1,e]上是增函数,∴≥0恒成立, 即a≥-在[1,e]上恒成立,∴a≥1………………6分 (2)证明: 当a=1时,x∈[1,e]. 令F(x)=-=-, ∴,∴F(x)在[1,e]上是减函数, ∴F(x)≤F (1)=∴x∈[1,e]时,<……………12分 19.解: (Ⅰ)的导数 令,解得;令, 解得.………………………2分 从而在内单调递减,在内单调递增. 所以,当时,取得最小值.……………………………5分 (II)因为不等式的解集为P,且, 所以,对任意的,不等式恒成立,……………………………6分 由,得 当时,上述不等式显然成立,故只需考虑的情况。 ………………7分 将变形为………………………………………………8分 令,则 令,解得;令, 解得.…………………………10分 从而在内单调递减,在内单调递增. 所以,当时,取得最小值,从而, 所求实数的取值范围是.………………12分 20.解: (1)当a=1时,……………2分 当 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0)(1,+∞) ……………………4分 (2)………6分 令 列表如下: x (-∞,0) 0 (0,2-a) 2-a (2-a,+∞) - 0 + 0 - 极小 极大 由表可知 ………………8分 设 ……………10分 ∴不存在实数a使f(x)最大值为3。 ………………12分 21.解: (1)依题意,令,得 列表如下: -1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值0 ↗ 从上表可知处取得极小值. …………………6分 (2)由 (1)可知函数作函数的图象, 当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于x的方程 ……………12分 22.解: ………………2分 (1)由已知,得上恒成立, 即上恒成立 又当 ………………6分 (2)当时, 在(1,2)上恒成立, 这时在[1,2]上为增函数 ………………8分 当在(1,2)上恒成立,这时在[1,2]上为减函数 ………………10分 当时,令 又 ………………12分 综上,在[1,2]上的最小值为 ①当 ②当时, ③当………………14分 13
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