导数基础知识专项练习.doc
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导数专项练习
一、选择题(本大题共21小题,共105.0分)
1.函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为( )
A.4x-y+2=0 B.4x-y-2=0 C.4x+y+2=0 D.4x+y-2=0
2.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标是( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(-1,3) D.(-1,-4)
4.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能( )
A. B. C.D.
5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-] C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-)
6.已知函数f(x)=x在区间[1,2]上是增函数,则实数m的取值范围为( )
A.4≤m≤5 B.2≤m≤4 C.m≤2 D.m≤4
7.设点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A. B.[0,)∪[,π) C. D.
8.函数y=f(x)导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在(-∞,0)上单调递增
B.函数y=f(x)的递减区间为(3,5)
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
9.已知y=+(b+6)x+3在R上存在三个单调区间,则b的取值范围是( )
A.b≤-2或b≥3 B.-2≤b≤3 C.-2<b<3 D.b<-2或b>3
10.函数在R上不是单调增函数则b范围为( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1]∪[2,+∞)
C.[-1,2] D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
11.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知曲线C:
y=x3-x2-4x+1直线l:
x+y+2k-1=0,当x∈[-3,3]时,直线l 恒在曲线C的上方,则实数k的取值范围是( )
A.k>- B. C. D.
13.曲线y=2lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为( )
A. B.2 C.3 D.2
14.已知函数f(x)=x-alnx,当x>1时,f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(e,+∞) D.(-∞,e)
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
22.函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f
(2)+f'
(2)=______.
23.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是______.
24.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f
(1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a=______.
25.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为______.
三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
26.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).若函数f(x)在x=1处有极值-4.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
27.已知函数f(x)=x2+lnx-ax.
(1)当a=3时,求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a得取值范围.
28.已知函数f(x)=-x3+x2+x+a,g(x)=2a-x3(x∈R,a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)求函数f(x)的极值.
(3)若任意x∈[0,1],不等式g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
29.已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值.
(I)求实数a的值;
(II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.
30.若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
答案和解析
【答案】
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 14.D 15.C 16.D 17.A 18.A 19.D 20.D 21.A
22.-323.(-∞,0)∪(9,+∞)
24.125.
26.
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有f′
(1)=0,f
(1)=-4,
即得.(4分)
所以f′(x)=3x2+4x-7=(3x+7)(x-1),
由f′(x)<0,得-<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间(-,1).(7分)
(2)由
(1)知f(x)=x3+2x2-7x,f′(x)=3x2+4x+7=(3x+7)(x-1),
令f′(x)=0,解得x1=-,x2=1.
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
由上表知,函数f(x)在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.
故可得f(x)min=f
(1)=-4,f(x)max=f(-1)=8.(13分)
27.解:
(1)当a=3时,f(x)=x2+lnx-3x;
∴f′(x)=2x+-3,由f′(x)>0得,0<x<或x>1,
故所求f(x)的单调增区间为(0,),(1,+∞);
(2)f′(x)=2x+-a,
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴2x+-a>0在(0,1)上恒成立,即a<2x+恒成立,
∵2x+≥2(当且仅当x=时取等号)
所以a<2,
当a=2时,易知f(x)在(0,1)上也是增函数,
所以a≤2.
28.解:
(1)f(x)=-x3+x2+x+a,
f'(x)=-3x2+2x+1,...
(2)由
(1)可知,
当时,函数f(x)取得极小值,函数的极小值为
当x=1时,函数f(x)取得极大值,函数的极大值为f
(1)=a+1,
(3)若任意x∈[0,1],不等式g(x)≥f(x)恒成立,
即对于任意x∈[0,1],不等式a≥x2+x恒成立,
设h(x)=x2+x,x∈[0,1],
则h'(x)=2x+1,
∵x∈[0,1],
∴h'(x)=2x+1>0恒成立,
∴h(x)=x2+x在区间[0,1]上单调递增,
∴[h(x)]max=h
(1)=2∴a≥2,
∴a的取值范围是[2,+∞)
29.解:
(I)由,
则 f'(x)=x2+2ax+6因在x=2时,f(x)取到极值
所以f'
(2)=0⇒4+4a+6=0解得,
(II)由(I)得
且1≤x≤3则f'(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3)
由f'(x)=0,解得x=2或x=3;
f'(x)>0,解得x>3或x<2;
f'(x)<0,解得2<x<3∴f(x)的递增区间为:
(-∞,2)和(3,+∞);
f(x)递减区间为:
(2,3)
又
要f(x)+m=0有两个根,
则f(x)=-m有两解,分别画出函数y=f(x)与y=-m的图象,如图所示.
由图知,实数m的取值范围:
.
30.解:
(1)f′(x)=3ax2-b
由题意知,
解得,
∴所求的解析式为f(x)=x3-4x+4;
(2)由
(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2)
令f′(x)=0,得x=2或x=-2,
∴因此,当x=-2时,f(x)有极大值,
当x=2时,f(x)有极小值;
(3)由
(2)知,得到当x<-2或x>2时,f(x)为增函数;当-2<x<2时,f(x)为减函数,
∴函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图.
由图可知:
.
31.解:
(1)复数z是纯虚数,则由,得,即a=0.
(2)若复数z是实数,则a2-3a+2=0,得a=1或a=2.
(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限,
则,
即,解得a<0或a>2.
【解析】
1.解:
∵f(x)=x3+x
∴f′(x)=3x2+1∴容易求出切线的斜率为4当x=1时,f(x)=2利用点斜式,求出切线方程为4x-y-2=0故选B.
首先求出函数f(x)在点x=1处的导数,也就是切线的斜率,再利用点斜式求出切线方程.
本题比较简单,主要应用导数的几何意义,求出切线方程.
2.解:
设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),
又∵
∴x0+a=1∴y0=0,x0=-1∴a=2.
故选项为B
切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.
本题考查导数的几何意义,常利用它求曲线的切线
3.解:
∵y=2x2+1,∴y′=4x,
令4x=-4,则x=-1,∴y=3∴点M的坐标是(-1,3)
故选C.
求导函数,令其值为-4,即可求得结论.
本题考查导数知识的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
4.解:
由y=f′(x)可得y=f′(x)有两个零点,x1,x2,且0<x1<x2,
当x<x1,或x>x2时,f′(x)<0,即函数为减函数,
当x1<x<x2,时,f′(x)>0,函数为增函数,
即当x=x1,函数取得极小值,当x=x2,函数取得极大值,
故选:
C
根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可.
本题主要考查函数图象的判断,结合函数单调性,极值和导数之间的关系是解决本题的关键.
5.解:
∵f(x)=-x3+ax2-x-1,
∴f'(x)=-3x2+ax-1,
要使函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则f'(x)≤0恒成立,
即f'(x)=-3x2+ax-1≤0恒成立,
∴△=a2-4(-3)•(-1)=a2-12≤0,
解得,
即实数a的取值范围是[].
故选:
B.
求函数的导数,函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则f'(x)≤0恒成立,解不等式即可.
本题主要考查导数的应用,要求熟练掌握导数与函数单调性,极值,最值之间的关系.
6.解:
函数f(x)=x,
可得f′(x)=x2-mx+4,函数f(x)=x在区间[1,2]上是增函数,
可得x2-mx+4≥0,在区间[1,2]上恒成立,
可得m≤x+,x+≥2=4,当且仅当x=2,时取等号、
可得m≤4.
故选:
D.
求出导函数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,推出结果即可.
本题考查函数的导数的应用,考查最值的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.
7.解:
y′=3x2-≥-,tanα≥-,
∴α∈[0,)
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