导数单调性分类讨论.docx
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类型二:
导数单调性专题
类型1.导数不含参。
类型2.导数含参。
类型3:
要求二次导
求单调性一般步骤:
(1)第一步:
写出定义域,一般有
(2)第二步:
求导,(注意有常数的求导)若有分母则通分。
一般分母都比0大,故去死
若无分母,因式分解(提公因式,十字相乘法)或求根
(观察分子)判断导函数是否含参,再进行讨论(按恒成立与两个由为分界)
(3)第三步由
(4)下结论
类型一:
导函数不含参:
对于这类型的题,直接由导函数大于0,小于0即可(除非恒成立)
例题1求函数的单调递增区间
解:
由 所以函数在区间单调递增
由 所以函数在区间单调递减
例题2:
求函数的单调区间
解:
由 所以函数在区间单调递增
由 所以函数在区间单调递减
例题3:
求函数的单调区间
例题4:
已知函数
(1)若时,求函数的单调区间
例题5.(2010·新课标全国文,21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
例题6:
已知函数
(1)若,求函数的单调区间
7.【2012高考天津文科20】(二次不含参)
已知函数,x其中a>0.
(I)求函数的单调区间;
8.已知函数,
(I)求函数的单调区间;
类型二:
导函数含参类型:
9:
求函数的单调区间(指数参)
例题10.(2009北京理)(一次参)设函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
例题11.(二次参)设函数,其中常数
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
W
例题12:
求函数上的单调区间
例题13.(2009安徽卷理)(二次参)
已知函数,讨论的单调性.
14.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)
已知函数,其中,讨论函数的单调性。
15.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)
已知函数
求的单调区间;
16.【2012高考新课标文21】(本小题满分12分)
设函数f(x)=ex-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
17.【2012高考全国文21】
已知函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
18.【2018高考全国文21】
已知函数.
(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;
训练:
(1)求函数的单调区间。
训练:
(2)求函数的单调区间。
训练:
(3)求函数的单调区间
训练:
(4)求函数的单调区间
训练:
(5)求函数的单调区间
近3年全国高考导数试题
1.(2017全国卷3)已知函数
(1)若,求的值
2.(2017全国卷2)已知函数,且
(1)求的值
3.(2017全国卷1)已知函数,
(1)讨论的单调性
4(2015全国卷2)已知函数的单调性,
证明:
在上单调递减,在上单调递增
5.(2015全国卷1)已知函数
(1)当为何值时,轴为曲线的切线。
6.(2017全国卷文1)已知函数
(1)讨论的单调性
7.(2017全国卷文2)已知函数
(1)讨论的单调性
8.(2016全国文卷2)已知函数
(1)当时,求曲线在处的切线。
9.(2016全国文卷1)已知函数有两个零点,
(1)求实数的取值范围
(2)若有两个零点,求的取值范围
10.(2015全国文卷1)已知函数,
(1)讨论函数的导函数的零点个数
11..(2018全国文卷1)
已知函数.
(1)设是的极值点,求,并求的单调区间
12(2011湖南)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性
13.(2018全国文卷2)
已知函数.
1.设时,并求的单调区间
14.(2018全国理科)已知函数.
(1)讨论函数的单调性
这三道选择题是引入课题不用多讲,然后总结做单调性步骤
1.函数f(x)=(2x−1)ex的递增区间为()
A.(−∞, +∞)
B.(12,+∞)
C.(−∞,−12)
D.(−12,+∞)
2.函数f(x)=2x2−lnx的递增区间是()
A.(0,12)
B.(−12,0)和(12,+∞)
C.(12,+∞)
D.(−∞,−12)和(0,12)
3.函数y=272x2+1x单调递增区间是()
A.(0, +∞)
B.(−∞, 13)
C.(13, +∞)
D.(1, +∞)
4.已知函数f(x)=lnxx.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
5.已知函数f(x)=2lnx+2ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
6.已知函数f(x)=(2−a)x−2lnx+a−2.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
7.已知函数f(x)=13x3−a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
8.已知函数f(x)=1x−x+alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
9.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a>0)
(1)设a>1,试讨论f(x)单调性;
10.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
11.设定义在R上的函数f(x)=ex−ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
12.已知函数f(x)=alnx−x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
13.已知函数f(x)=lnx−12ax2+(1−a)x,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
14.已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)−2xx+2.
(1)讨论f(x)在区间(0, +∞)上的单调性;
15.已知函数f(x)=x2+(2a−1a)x−lnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
16.已知函数f(x)=x3−3ax2+4(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
17.已知函数f(x)=−x+alnx(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
.
18.已知函数f(x)=ax2+x+lnx(a∈R).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
答案
1.D
2.C
3.C
4.(Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnxx2,
令f′(x)>0,得0 令f′(x)<0,得x>e, ∴f(x)的单调增区间为(0, e),单调减区间为(e, +∞); 5.函数的导数f′(x)=2(1x*ex−(lnx+1)ex)(ex)2=2ex(1x−lnx−1), 设g(x)=1x−lnx−1,x>0, 则g′(x)=−1x2−1x<0,则g(x)为减函数, 又g=1−ln1−1=0, 则当x>1时,g(x)>g (1)=0,此时f′(x)<0,此时f(x)为减函数, 当0 (2)=0,此时f′(x)>0,此时f(x)为增函数. 即函数f(x)的增区间为(0, 1),减区间为(1, +∞). 6.(Ⅰ)a=1时,f(x)=x−2lnx−1,f′(x)=1−2x, 由f′(x)>0,得x>2,f′(x)<0,解得: 0 故f(x)在(0, 2)递减,在(2, +∞)递增; 7.7.解: (1)当a=3时,f(x)=13x3−a(x2+x+1), 所以f′(x)=x2−6x−3时,令f′(x)=0解得x=3±23, 当x∈(−∞, 3−23),x∈(3+23, +∞)时,f′(x)>0,函数是增函数, 当x∈(3−23,3+23)时,f′(x)<0,函数是单调递减, 综上,f(x)在(−∞, 3−23),(3+23, +∞),上是增函数,在(3−23,3+23)上递减. 8.解: (1)函数的定义域为(0, +∞), 函数的导数f′(x)=−1x2−1+ax=−x2−ax+1x2, 设g(x)=x2−ax+1, 当a≤0时,g(x)>0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0, +∞)上是减函数, 当a>0时,判别式△=a2−4, ①当00,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0, +∞)上是减函数, ②当a>2时,x,f′(x),f(x)的变化如下表: x (0, a−a2−42) a−a2−42 (a−a2−42, a+a2−42) a+a2−42 (a+a2−42, +∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 递减 递增 递减 综上当a≤2时,f(x)在(0, +∞)上是减函数, 当a>2时,在(0, a−a2−42),和(a+a2−42, +∞)上是减函数, 则(a−a2−42, a+a2−42)上是增函数. 9.解: (1)函数f(x)的定义域为(0, +∞), f′(x)=1x−a−1−ax2=−ax2+x+a−1x2=−ax2+x+a−1x2=(−x+1)(ax+(a−1))x2, 令f′(x)=0,则x1=1,x2=1−aa(a>1, x2<0)舍去. 令f′(x)>0,则x>1,令f′(x)<0,则0 所以当x∈(1, +∞)时,函数f(x)单调递增;当x∈(0, 1)时,函数f(x)单调递减; . 10. (1)解: 因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x, 求导f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x,(x>0), ①当a=0时,f′(x)=1x+1>0恒成立,此时y=f(x)在(0, +∞)上单调递增; ②当a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立,此时y=f(x)在(0, +∞)上单调递增; ③当a<0时,令f′(x)=0,解得: x=−12a. 因为当x∈(0, −12a)f′(x)>0、当x∈(−12a, +∞)f′(x)<0, 所以y=f(x)在(0, −12a)上单调递增、在(−12a, +∞)上单调递减. 综上可知: 当a≥0时f(x)在(0, +∞)上单调递增, 当a<0时,f(x)在(0, −12a)上单调递增、在(−12a, +∞)上单调递减; 11.解: (1)f′(x)=ex−a, 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上为增函数; 当a>0时,由f′(x)>0,得ex−a>0,即x>lna,由f′(x)<0,得x ∴函数的单调增区间为(lna, +
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