导数与数列02.docx
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导数与数列02
数列与函数导数结合证明不等式问题,是近年来高考考查的热点问题,常用的解题思路是利用前面的结论构造函数,利用函数的单调性,对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立,进而解答出这类不等式问题的解.
特别注意:
由函数向数列过渡时,要分析所求数列的结构特点,特别是数列的“长式”通项的特点。
一、常用的结论
(一)常用的数列求和公式
1.2.
3.
(二)常用的方法
1.列项相消法
若一个数列的通项为,则,若题目出现了时,可考虑此法。
2.放缩法与裂项法
(1)缩:
;
。
(2)放:
当n≥2时,;
当n≥2时,。
3.逐商法
若一个数列的通项为,则,若题目出现了时,可考虑此法。
4.逐差法
若一个数列的通项为,则
,若题目出现了时,可考虑此法。
(三)常用的不等式:
(1)lnx≤x-1,(x>0)
(2)ln(x+1)≤x,(x>0)
(3)ex≥x+1,
(4)e-x≥x+1,
(5)sinx<x<tanx,。
公式lnx≤x-1,(x>0)的应用:
当n≥2,n∈N*时,lnn≤n-1,两边同除以n,得:
∴(n≥2,n∈N*)。
即。
二、典型例题
1.(2016•商丘三模)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总不是单调函数(和“总存在极值”一个意思),求m的取值范围;
(Ⅲ)求证:
(n≥2,n∈N*).
解:
(Ⅰ)(x>0),
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(0,1];
当a=0时,f(x)不是单调函数(4分)
(Ⅱ)由题意知:
,得a=-2,∴f(x)=-2lnx+2x-3,,
∴,
∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2,
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,∴,
∵对于任意的t∈[1,2],g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,
∴对于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
所以有:
,即,解得−<m<−9,
∴m的取值范围是−<m<−9。
(Ⅲ)令a=1此时f(x)=lnx-x-3,所以f
(1)=-4,
由(Ⅰ)知f(x)=lnx-x-3在(1,+∞)上单调递减,
∴当x∈(1,+∞)时f(x)<f
(1),即lnx-x-3<-4,
∴lnx<x-1对一切x∈(1,+∞)成立,
∵n≥2,n∈N*,则有0<lnn<n-1,∴,
∴(n≥2,n∈N*)。
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