导学案023正弦定理和余弦定理.doc
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济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号022班级:
高三()姓名:
正弦定理、余弦定理
考纲要求:
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
考情分析:
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.
2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.
教学过程:
基础梳理
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变
形
形
式
①a=,
b=,
c=;
②sinA=,sinB=,sinC=;
(其中R是△ABC外接圆半径)
③a∶b∶c=
④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.
cosA=;
cosB=;
cosC=.
解决的问题
①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.
①已知三边,求各角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
二、三角形常用面积公式1.S=a·ha(ha表示边a上的高);
2.S=absinC==;
3.S=r(a+b+c)(r为内切圆半径
双基自测
1.(教材习题改编)在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B=( )
A.45°或135° B.135°C.45°D.60°
2.在△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
3在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( )
A.无解 B.两解
C.一解 D.解的个数不确定
4.(2011·北京高考)在△ABC中,若b=5,B=,sinA=,则a=________.
5.(2011·新课标全国卷)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________.
关键点点拨:
在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
典例分析
考点一:
利用正弦、余弦定理解三角形
[例1] (2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
变式11.本例条件不变,求角A.
变式2.(2012·长沙模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=1,则c等于( )
A.1 B.2C.-1D.
(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.
(2)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
考点二:
利用正余弦定理判断三角形的形状
[例2] (2010·辽宁高考)在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
变式3.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
注意:
在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
考点三:
与三角形面积有关的问题
[例3] (2011·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
(1)求的值;
(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.
1.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化;
2.除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有
①S==p·r(p是周长的一半,即p=,r为内切圆半径);
②S=(R为外接圆半径).
考题范例
能(2011·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA+sinC=psinB(p∈R),且ac=b2.
(1)当p=,b=1时,求a,c的值;
(2)若角B为锐角,求p的取值范围.
解:
(1)由题设并利用正弦定理,得
解得或
(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB
=p2b2-b2-b2cosB,
即p2=+cosB,
因为0<cosB<1,得p2∈.
由题设知p>0,所以<p<. (12)
一条规律
在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.
两类问题
在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
(1)已知两角及任一边,求其它边或角;
(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况
(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:
(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;
(2)已知三边,求各角.
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;
(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
本节检测
1.在△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边,条件“acosB”成立的
( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=λ,b=λ(λ>0),A=45°,则满足此条件的三角形个数是( )
A.0B.1C.2D.无数个
3.已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )
A.2B.8C.D.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则( )
A.a>bB.a
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
5.△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于( )
A.B.C.或D.或
6.(2011·福建高考)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于________.
7.(2012·吉林一模)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csinA,角C=________.
自我反思
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- 导学案 023 正弦 定理 余弦