导函数大题类型总结(完整版).doc

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【对分类讨论的考查】

【例1】（2010西城一模）设且≠0，函数.

（1）当时，求曲线在（3，）处切线的斜率；

（2）求函数的极值点。

【总结】解决这类问题，我们应该注意以下几点：

（1）函数的定义域；

（2）当对原函数求导时，如果导函数化简完以后时一个二次函数且为形如或时，这时一般地就是用“十字交叉”法把导函数等于零的根求出来（偶尔不能利用十字交叉求出这个二次函数的根，这时只能利用二次函数的对称轴或者求根公式把这个方程的根求出来（详见2011海淀二模文科试题）；（注：

形如形式的导函数，一般的采用变量分类的方法去处理，如2011石景山一模）

（3）因为我们所要讨论的极值问题，极值点问题，函数的单调性问题都是在函数的定义域里面讨论的，所以这时要分类讨论导函数等于零的根在不在这个定义域内，如果在定义域内，那么解出来的这个方程的两个根那个大，那个小，这时就要分类讨论。

（4）分类讨论时，第一步应该先把函数的定义域标在数轴上，然后把导函数等于零的根标在数轴上，然后再讨论两个根那个大，那个小，在不在区间里面等等。

变式与拓展：

【1】（2011北京丰台第一学期期末文）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）求函数的极值．

【2】（2010北京考试院调研试题文）设，函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最小值.

【3】（2010北京宣武一模文）已知函数

（I）若x=1为的极值点，求a的值；

（II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值；

（III）当时，若在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

【例2】w（2011西城一模）已知函数.（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）

【总结】解决这类问题，就是首先求函数导函数等于零的值，然后再把函数的定义域画在数轴上，然后分别得讨论导数等于的自变量在各个小区间上的最值即可。

变式与拓展：

【1】（2011北京朝阳一模）已知函数，.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.

【2】（2011北京文）已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值.

【3】（2011北京东城二模文）已知函数（）．

（Ⅰ）若，求证：

在上是增函数；

（Ⅱ）求在上的最小值。

【例3】（2011海淀二模文）已知函数

（I）若，求函数的解析式；

（II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【总结】解决这类问题一般的有如下两种方法：

第一，求函数的导函数得对称轴，然后再让对称轴和函数的区间的左右端点处比较大小，然后分别求出函数的导函数在每一小区间上的最值；

第二，首先判断导函数的判别式，然后再用求根公式求出导函数的两个根（有时候不一定是两个根），然后再让这两个根和区间的两个端点处比，然后再求出导函数的最值即可。

变式与拓展：

【1】（2010北京海淀二模理）已知函数，其中a为常数，且.

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

【对变量分类法的考查】（参数分离）

【例4】（2011石景山一模）已知函数

（Ⅰ）若的解析式；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．

【总结】解决这类问题，就是想办法把含有参数的变量移到不等式的一边去，然后再利用均值不等式或者新构造一个函数，然后再求这个函数的最值即可。

同时要注意运用均值不等式的条件：

一正，二定，三相等。

变式与拓展：

【1】（2011东城第一学期期末文）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求的取值范围．

【文科生选做】（2011东城第一学期期末理）已知函数．

（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围．

【2】（2010北京东城二模文）已知函数．

（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；（Ⅱ）设（），求证：

．（注：

此题第一学期期末以前只做第一问）

【3】（2010北京宣武二模文）已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求实数的取值范围．

变式与拓展：

【对函数在某个区间上是不是单调函数的考查】

【例5】（2011东城一模）已知函数，且．

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【例6】（2011清华附中高三第二学期开学考试题）（2009浙江）已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；

（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．

【总结】解决这类单调还是不单调的问题，我们一般的有如下三种方法：

第一：

如果这个函数在某一个区间上为单调增函数，就是求这个函数的导函数在这个区间上得最小值，然后再让最小值大于零即可，反之亦然；

第二：

若一个函数在区间上不单调，但是这个导函数等于零的根很容易求解，那么只需这个根的落在区间内即可；

第三：

若一个函数在区间上不单调，但是这个导函数等于零的根很不容易求解，那么这时只能利用函数的零点定理求解。

变式与拓展：

【1】（2010北京宣武一模文）已知函数

（I）若x=1为的极值点，求a的值；

（II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值；

（III）当时，若在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

【2】（2011昌平二模理）已知函数（）.

（Ⅰ）求函数的单调区间;（Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。

（2011北京东城普通校第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

【对恒成立问题的考查】

【对形如型问题恒成立的考查】

【例7】（2010崇文一模文）已知函数（）．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

【总结】求解关于这类问题，就是求函数在区间上得最大值即可，最大值都小于等于,则对于任意的，则都有。

变式与拓展：

【1】（2010北京顺义一模）已知函数,在时取得极值.

（1）求的值及的单调区间;

（2）若对任意，恒成立,求实数的取值范围.

【2】（2010北京崇文二模文）已知函数在与处都取得极值．（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；

（Ⅱ）若对，不等式恒成立，求的取值范围.

【对形如型问题恒成立的考查】

【例8】（2011清华附中高三模拟）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。

【总结】解决这类问题，就是构造新函数，这时只需求函数的最大值，让最大值即可。

也就是想办法把问题转化为这种情况。

【例9】（2011东城第一学期期末文）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

【总结】解决这类在区间恒成立问题，首先观察在区间上是否恒为正或者恒为负，想办法把除过去，即变为（注意：

这时要大于零，否则变为），然后把转化为求函数，然后再求函数的最大值即可。

在一般情况下，求的最值有两种方法：

第一，就是利用均值不等式法；第二，就是利用求导函数的方法。

变式与拓展：

【1】（福建省三明市2011年高三三校联考文科）已知函数，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；

【2】（天津十二区县重点中学2010年高三联考一理）

设函数，，其中．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在负数，使对一切正数都成立？

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

（文科生选做）（2011天津市河西区一模文）已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.

（I）用表示,并求的最大值；（II）求证:

.

【2】（2010北京延庆一模）已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

【对形如型恒成立问题的考查】

【例10】（2011西城第一学期期末）已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处切线的斜率；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

【总结】求解形如这类问题，就是求出函数在区间上得最大值，再求出函数在区间上的最小值，然后这个最大值小于这个最大值即可。

变式与拓展：

【1】（2011东城一模理）已知函数．

（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）证明：

对任意，都有成立．

【对形如型函数的考查】

（2009江苏扬州第一学期期末）若函数满足：

对于任意的都有恒成立，则的取值范围是．

【总结】解决这类问题就是求出函数在区间上的最大值和最小值，然后再让最大值减去最小值即可。

变式与拓展：

（2010北京石景山一模）已知函数，在点处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（Ⅲ）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

【对形如型恒成立问题的考查】

（2009辽宁）已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明：

若，则对任意x，x，xx，有。

【总结】解决形如型的问题，一般的我们通过如下方法来解决：

不妨假设，则原不等式可以转化为，即，即证为增函数即可。

变式与拓展：

（四川省雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）给出下列四个函数：

①；②；③；④其中满足：

“对任意，都有”的函数序号是。

（湖南省长沙等四县市2011年3月高三调研理科）已知函数，为正常数．

（1）若，且，求函数的单调增区间；

（2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围．

（2011北京东城普通校第一次联考）已知函数，

（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

【对存在性问题的考查】

【例11】（2011海淀一模）已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

思考：

若在（）上对于任意的一点，使得恒成立，求的取值范围.（如何求解）

【总结】求解这类存在性问题，其实是和“对于任意的一点，使得恒成立，就是求的最大值”正好相反，这时就是求函数

的最小值。

变式与拓展：

【1】（2010北京西城一模）已知函数其中。

（1）若函数存在零点，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数的单调区间；并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由。

【2】（2010朝阳一模）已知函数，．（Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

【3】（2011东城第一学期期末理）已知函数．

（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围．

【4】（2010浙江杭州第一次质检）已知函数.

（I）若函数在点处的切线斜率为4，求实数的值；

（II）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围。

【对有没有极值的考查】

【例12】（2010北京文）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

【总结】处理这类问题，一般的我们有两种方法。

第一种，如果函数的定义域是，则只需让函数的导函数的（如果这个函数的导函数是二次函数的话）；

第二种，如果函数的定义域是，只需利用函数的零点定理求解即可。