对勾函数讲解与例题解析.doc
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对勾函数
对勾函数:
数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。
当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。
这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。
当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y=b/x构成,形状酷似双勾。
故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示:
a>0b>0a<0b<0
对勾函数的图像(ab同号)
当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
(请自己在图上完成:
他是如何叠加而成的。
)
对勾函数的图像(ab异号)
一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。
之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到:
当x>0时,。
当x<0时,。
即对勾函数的定点坐标:
(三)对勾函数的定义域、值域
由
(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
y
X
O
y=ax
(四)对勾函数的单调性
(五)对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到:
(六)对勾函数的奇偶性:
对勾函数在定义域内是奇函数,
二、均值不等式(基本不等式)
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是a^2-2ab+b^2≥0,有a^2+b^2≥2ab,两边同时加上2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开根号,就得到了均值定理的公式:
a+b≥2sqrt(ab)。
把ax+b/x套用这个公式,得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab),这里有个规定:
当且仅当ax=b/x时取到最小值,解出x=sqrt(b/a),对应的f(x)=2sqrt(ab)。
我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样:
(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均数的公式。
那么后面的式子呢?
也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
三、关于求函数最小值的解法
1.均值不等式
,,当且仅当,即的时候不等式取到“=”。
当的时候,
2.法
若的最小值存在,则必需存在,即或(舍)
找到使时,存在相应的即可。
通过观察当的时候,
3.单调性定义
设
当对于任意的,只有时,,此时单调递增;
当对于任意的,只有时,,此时单调递减。
当取到最小值,
4.复合函数的单调性
在单调递增,在单调递减;在单调递增
又原函数在上单调递减;在上单调递增
即当取到最小值,
四、例题解析:
例1、已知函数 ,
练习:
2.已知函数,求f(x)的最小值,并求此时的x值.
五、重点(窍门)
其实对勾函数的一般形式是:
f(x)=ax+b/x(a>0)
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
值域为(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞)
当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a
当x<0,有x=-根号a,有最大值是:
-2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),它的单调性讨论如下:
设x1 下面分情况讨论 ⑴当x1 ⑵当-根号a ⑶当0 ⑷当根号a 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。 4
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- 函数 讲解 例题 解析