设an是首项为a1公差Word文档格式.docx
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解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列,记为ai,a2,a3,a4,a5,贝U印+a2+出
+a4+a5=500.由等差数列的性质可得5a3=500,即卩a3=100,所以a?
+a3+3a3=300.
&
(2017河南洛阳期末)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数
9.(20i7衡水中学调研卷)在i到i04之间所有形如2n与形如3n(n€N*)的数,它们各自之和
的差的绝对值为(lg2疋0.30i0)()
i0.(20i8温州十校联考)设数列{an}和{bn}分别是等差数列与等比数列,且ai=6=4,印=
b4=i,则以下结论正确的是()
A.a2>
b2
B.a3<
b3
C.a5>
b5
D.a6>
b6
答案A
4+3d=i,
解析设等差数列的公差、等比数列的公比分别为
d,q,则由题意得’
4q3=i,解得
『d=—i,
3则a2—b2=3—^T6>
3—^27=0;
故选A.q=冷,
ii.数列{an}是等差数列,若ai,出,d是等比数列{bn}中的连续三项,则数列{bn}的公比为
答案1或1
2
解析设数列{a*}的公差为d,由题可知,a32=ai•比,可得(ai+2d)2=a*ai+3d),整理得⑻+4d)d=0,解得d=0或a1=-4d•当d=0时,等比数列{bn}的公比为1;
当a1=-4d时,
ai,a3,a4分别为一4d,—2d,-d,所以等比数列{b*}的公比为
12.(2017•东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出
1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒次后才能使纯酒精体积与
总溶液的体积之比低于10%.
答案4
解析设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比
a1=2,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为a*,贝Ua*+1=an•扌,:
外=a1qn—1=
111
(『,•••(決和解得n>
4.
*11
13.(2015浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,B=1,a*+1=2a*(n€N),3+^b2+gb3+…
1*
+;
bn=bn+1—1(n€N).
(1)求an与bn;
⑵记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
答案
(1)an=2n,bn=n
(2)Tn=(n-1)2n+1+2
解析
(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2(n€N).
由题意知:
当n=1时,b1=b2—1,故b2=2.
心2时,b1+尹+…+Rs—1=bn-1和原递推式作差得-bn=bn+1所以bn=n(n€N*).
⑵由①知anbn=n2n,
因此Tn=2+222+323+…+n2n,
2Tn=22+223+324+…+n2n+1,
所以Tn—2Tn=2+22+23+…+2n—n2n+1.
故Tn=(n—1)2n+1+2(n€N*).
14.(2016四川)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中
*
q>
0,n€N.
(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
⑵设双曲线x2—*=1的离心率为en,且e2=2,求e/+e22+…+en2.
解析
(1)由已知Sn+LqSn+1,得Sn+2=qSn1,两式相减得到an+2=qan+仆
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan对所有n>
1都成立.
所以数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn1.
由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,
所以a3=2a2,故q=2,所以an=2n1(n€N).
n—1
(2)由
(1)可知,an=q
所以双曲线x2—花=1
an
的离心率en=,1+an2=\;
1+q21
由e2=空1+q2=2解得所以e12+e22+-+en2
=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n—1)]=n+[1+q2+…+q2(n—1)]
2nq—1
=n+~2~1
q—1
n—1).
15.(2018衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万,实施“放开二胎”专家估计人口总数将发生如下变化:
从2016年开始到2025年每年人口比上年增加
新政策后
0.5万人,
从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式(注:
2016年为第一年);
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过施,问到2035年后是否需要调整政策?
(说明:
0.9910
49万,则需调整政策,否则继续实
=(1—0.01)10~0.9).
0.5n+45,1<
nW10
答案(1r50X0.99n-10,11WnW20⑵不需要
解析
(1)由题意知,当n<
10时,数列{an}是以45.5为首项,0.5为公差的等差数列,所以
an=45.5+(n—1)X0.5=0.5n+45.
当11Wn<
20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列,而an=50X0.99,所以為=50X0.99n
—10
0.5n+45,1wnW10,所以新政策实施后第n年的人口总数环(单位:
万)的表达式为an=n—10
I50X0.99,11WnW20.
⑵设Sn为数列{an}的前n项和,则从2016年到2035年共20年,由等差数列及等比数列的
10
求和公式得S20=S10+(an+a12+…+a20)=477.5+4950X(1—0.99戶972.5(万),
所以新政策实施到2035年人口均值为S20"
48.63<
49.
20
所以到2035年后不需要调整政策.
16.(2018云、贵、川三省联考)设数列{an}是公差大于0的等差数列,Sn为数列On}的前n项和,已知S3=9,且2$,a3-1,a4+1构成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
ann—1*
⑵若数列{bn}满足b"
=2(n€N),设Tn是数列{bn}的前n项和,证明:
Tn<
6.
bn
答案
(1)2n—1
(2)略
解析
(1)设数列{an}的公差为d,则d>
0.
因为S3=9,所以a1+a2+a3=3a2=9,即a2=3.
因为2a1,a3—1,a4+1构成等比数列,
所以(2+d)2=2(3—d)(4+2d),
所以d=2所以an=a2+(n—2)d=2n—1.
⑵证明:
因为害=21(n€N*),
所以bn=1=(2n—1)
(1)n—1,
所以Tn=1X
(2)0+3X(罗+…+(2n—1)x
(1)n—二①
1111—1
所以2Tn=1X
(2)1+3X(刁2+…+(2n—3)xq)n—1+(2n—1)x($n,②
由①②两式相减得
1—(丄)n-1
1Tn=1+2x
(2)1+2X
(1)2+•••+2x
(2)n—1—(2n—1)xg)n=1+令——=3—
1—2
夫—叨,整理化简得Tn=6—坪又因为n€N*,所以Tn=6—予坤<
(第二次作业)
1.若方程X2—5x+m=0与x2—10x+n=0的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为1
的等比数列,贝Um:
n的值为()
C.2D.4
解析设等比数列的公比为q,由根与系数的关系,得1+q+q2+q3=15,即(q—2)(q2+3q
+7)=0,因此q=2,此时m=q2,n=q4,故m:
n=1:
4,故选A.
=n,故上午11时30分公园内的人数为
S=2+-
(1-21。
1—2
10X(1+10)
=212—57.
2.某林厂年初有森林木材存量S立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐
固定的木材量x立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是()
153
解析由题意知,a=2,b=16,c=16.故a+b+c=1,故选A.
4•今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早
晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30
分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有
32人进去4人出来,……,按照这种规律进行下去,至吐午11时30分公园内的人数是()
A.211—47B.212—57
C.213—68D.214—80
解析由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4
为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列,记第n
个30分钟内进入公园的人数为an,第n个30分钟内出来的人数为bn,贝U為=4x2n—1,bn
5.(2018•西九江一中月考)在等比数列{an}中,a7是a8,a?
的等差中项,公比q满足如下
条件:
△OAB(O为原点)中,OA=(1,1),OB=(2,q),/A为锐角,则公比q=答案—2
解析由a-f是a8,a9的等差中项,知2a7=氏+a?
=a7q+a7q[得q=1或q=—2.又因为/A
为锐角,所以A0•AB=A0•(0B—0A)=(—1,—1)(1,q—1)=—q>
0,可知q<
0,故q=-2.
22
6.(2017河北教学质量监测)已知函数y=x(x>
0)的图像在点(ak,比)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1(k€N),若a1=16,则aj+a3+a5=.
答案21
解析由题意,得函数y=x2(x>
0)的图像在点(ak,ak2)处的切线方程是y—a『=2a«
x—ak).令
y=0,得x=2ak,即ak+1=*比,因此数列{ak}是以16为首项,2■为公比的等比数列,所以ak=16
(2)k1=25k,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
7.(2017合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟
自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过分钟,该病毒占
据64MB内存(1MB=210KB).
答案45
解析依题意可知
ao=2,a1=22,a2=23,…,an=2^1.
64MB=64X210=216KB,
令2n+1=216得n=15.
•••开机后45分钟该病毒占据64MB内存.
一个数字生成器,生成规则如下:
第1次生成一个数x,以后每次生成的结果可将上一
次生成的每一个数x生成两个数,一个是—x,另一个是x+3.设第n次生成的数的个数为
an,则数列{an}的前n项和Sn=;
若x=1,前n次生成的所有数中不同的数的个数
为Tn,
则T4=.
2n—1,10
1—2n
由题意可知,依次生成的数字个数是首项为1,公比为2的等比数列,故Sn=彳J
2n—1.
当x=1时,第1次生成的数为1,第2次生成的数为一1,4,第3次生成的数为1,2;
—4,7,第4次生成的数为一1,4;
—2,5;
4,—1;
—7,10.故T4=10.
9.(2018湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列{an},{bn}中,a1=a,{bn}是比公为§
的等比
a—2*
数列,记bn=n—1(n€N),若不等式
an一[
答案(2,+^)
1_bn+1—bn
bn+1—1(1—bn+1)(1—bn)
<
0,即
(1—3bn)(1—bn)
(?
bn—1)
>
0,解
bn—1)
332—3
得bn>
2或0<
bn<
1.若bn>
2,则^悠)"
对一切正整数n成立,显然不可能;
若0<
1,则
2n-1亠a1—2
0<
b1(3)<
1对一切正整数n成立,只要0<
b1<
1即可,即0<
a—1<
1,解得a1=a>
2.
10.(2018上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万
张,电动型汽车牌照2万张•为了节能减排和控制总量,从2017年开始,每年电动型汽车
牌照的发放量按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦
某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的
水平不变.
(1)记2017年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an},每年发放的电动型汽
车牌照数构成数列{bn},完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
a1=10
a2=9.5
a3=
a4=
b1=2
b2=3
b3=
b4=
(2)从2017年算起,求二十年发放的汽车牌照总量.
答案
(1)a3=9,a4=8.5,b3=4.5,b4=6.75
=—n+21jwnw20且n€N*,
0,n》21且门€N*bn=[2X(3)n-1,1WnW4且n€N*,
6.75,门》5且门€N
(2)229.25万张解析
(1)
a1=10
a3=9
a48.5
b1=2
b2=3
b3=4.5
b4=6.75
N
€
n
且
21
+
n-2
当Knw20且n€N,an=10+(n—1)x(—0.5)=
-E+21,1wnw20且n€N*,
•-甘22
0,门》21且门€N*.
a4+b4=15.25>
15,
3n_1*
2X
(二),1wnW4且n€N,
■-bn=2*
6.75,n>
5且门€N*.
(2)ai+a2+…+a20=10x20+2°
|l9x(-1)=105,
•••从2017年算起,二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张.
x
11.(2017江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)=2+sinx的所有正的极小值点从小
到大排成的数列为{Xn}.
(1)求数列{xn}的通项公式;
x13
⑵令bn=-,设数列{—}的前n项和为Sn,求证Sn<
2nbnbn+12
2n*
答案
(1)Xn=2nn—〒(n€N)
(2)略
x12n
解析
(1)f(x)=2+sinx,令f'
(x)=2+cosx=0,得x=2kn±
=(k€Z).
223
丄,2n2n
由f(x)>
0?
2kn—可<
x<
2kn+可(k€Z),
.2n4n
由f(x)<
2kn+T<
2kn+g(k€Z),
r2n
当x=2kn—丁(k€Z)时,f(x)取得极小值,
3n—1
所以Xn=2nn—(n€N).
—,Xn
⑵因为bn==
2n
所以一—=—-—=3(」——),
bn-bn+13n—13n+23n—13n+2八
11,11,111133
所以Sn=3(2—5+5-8+…+3n—1—3n+2)=3(2—3n+2)=2_3n+2,
所以Sn<
3.
12.(2017山东)是各项均为正数的等比数列,且X1+X2=3,X3—X2=2.
(1)求数列{Xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(X1,1),P2(X2,2),…,Pn+1(xn+1,n+
1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=X1,X=Xn+1所围成的区域的面积Tn.
答案
(1)2n—
(2)(2n—1)乂+
解析
(1)设数列{xn}的公比为q,则q>
X1+X1q=3,2
由题意得f2所以3q2—5q—2=0.因为q>
0,所以q=2,X1=1.因此数列{xn}的
Xw—x1q=2,
通项公比为Xn=2n—1.
⑵过P1,P2,…,Pn+1向X轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.
由
(1)得xn+1—xn=2n—2n1=2n1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意得bn=
—(2n+1)X2n
a1=1,且a2,
(n+n+1)n—1n—2
所以bn=1bnT,所以数列{bn}是首项为g,公比为£
的等比数列,故"
=3^.
3333
⑵由
(1)知,Cn=anbn=
1111
所以Tn=1x3+2x32+3x33+…+nx卞①
11111
在①式两边同乘3,得§
Tn=1X32+2X33+3X34+—+nx
211111
由①②两式相减得§
Tn=3+32+亍+…+尹一nX3+1,
所以Tn—Sn=1—2n+
44
当n=1时,Ti=Si,
所以Tn>
Sn,
备选题
示数列{bn}的前n项和,则S5=
222
y—nnT7—n
解析由题意得,过点Pn,Pn+1的直线为=,即2x+n(n+1)y—2(2n+1)
x—n(n+1)—n
=0.令y=0,得x=2n+1,令x=0,得y=2(2n+1),所以bn=1x(2n+1)x2(2n+1)
n(n+1)2n(n+1)
=4+(+=4+1—土,所以S5=4X5+1—1+2—£
+•••+J—6=罟.
(n+1)nn+1223566
x
3.设函数f(x)=2+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn},{Xn}的前n项和
为Sn,则sinSn不可能取的值是()
2n2nn
取极小值,即Xn=2nn—3,所以Sn=x〔+X2+X3+…+Xn=2n(1+2+3+…+n)—丁
33
2nn**
n(n+1)n—~3_,当n=3k(k€N)时,sinSn=sin(—2kn)=0;
当n=3k—1(k€N)时,sinSn
=si门牛二宁;
当n=3k—2(k€N*)时,sinSn=si门号=—今.
A.;
F(n2)on
解析由题意得an=_n—=~2且ak=(an)min,由指数函数y=2X与二次函数y=x2图像
F(2,n)n
XX
的对比可得当x>
0时,P先减后增,故P有最小值.因此a1=2,a2=1,a3=~9,a4=1,所
9
以a2>
a3且a3<
a4,所以(an)min=a3=9,则ak=;
故选C.
5.(2017保定模拟)如图所示,矩形AnBnCnDn的一个边AnBn在X轴上,另外两个顶点Cn,
1一*
Dn在函数f(x)
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- an 是首项 a1 公差