上海中考数学压轴题专题复习相似的综合Word文档格式.docx
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a=±
,
∵a>
0,
B(1,);
3)解:
如图3,
设AC=nBC,
由
(2)同理可知:
A的横坐标是B的横坐标的n倍,
则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),
∴AD=am2n2,
过B作BF⊥x轴于F,
∴DE∥BF,
∴△BOF∽△EOD,
∴,
∴,DE=am2n,
∵OC∥AE,
∴△BCO∽△BAE,
∴CO==am2n,
∴DE=CO.
【解析】【分析】
(1)抛物线y=ax2关于y轴对称,根据AB∥x轴,得出A与B是对称
点,可知AC=BC=1,由∠AOB=6°
0,可证得△AOB是等边三角形,利用解直角三角形求出
OC的长,就可得出点A的坐标,利用待定系数法就可求出a的值。
(2)过B作BE⊥x轴于E,过A作AG⊥BE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行
线分线段成比例证出AF=4FG,根据点A的横坐标为﹣4,求出点B的横坐标为1,则A(-
4,16a),B(1,a),再根据已知证明∠BOE=∠DAO,∠ADO=∠OEB,就可证明
△ADO∽△OEB,得出对应边成比例,建立关于a的方程求解,再根据点B在第一象限,
确定点B的坐标即可。
(3)根据
(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2),则A(-mn,
am2n2),得出AD的长,再证明△BOF∽△EOD,△BCO∽△BAE,得对应边成比例,证得
CO=am2n,就可证得DE=CO。
2.如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,
点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方
向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间
1)求证:
△BEF∽△DCB;
2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值;
3)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?
试说明理由.
【答案】
(1)解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
在中,
∵别是的中点,
∴EF∥AD,
∴EF∥BC,
∴
(2)解:
如图1,过点Q作于,
(舍)或秒
当点Q在DF上时,如图2,
Q在BF上时,,如图3,
时,如图4,
时,如图5,
综上所述,t=1或3或或秒时,△PQF是等腰三角形
(1)根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等,从而
可证△BEF∽△DCB;
(2)过点Q作QM⊥EF于M,先根据相似三角形的预备定理可证
△QMF∽△BEF;
再由△QMF∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长;
最后代入三角
形的面积公式即可求出t的值。
(3)由题意应分两种情况:
(1)当点Q在DF上时,因
为∠PFQ为钝角,所以只有PF=QF。
(2)当点Q在BF上时,因为没有指明腰和底,所
以有PF=QF;
PQ=FQ;
PQ=PF三种情况,因此所求的t值有四种结果。
3.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°
,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接
DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
1)问题发现
1当α=0时,°
=;
②当α=180时,°
=.
(2)拓展探究
试判断:
当0°
≤α<
360°
时,的大小有无变化?
请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
(1);
如图2,
时,的大小没有变化,
∵∠ECD=∠ACB,
∴∠ECA=∠DCB,
又∵,
∴△ECA∽△DCB,
①如图3,
AC=4,CD=4,CD⊥AD,
AD=
AD=BC,AB=DC,∠B=90,°
四边形ABCD是矩形,
BD=AC=.
2如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点
∵AC=,CD=4,CD⊥AD,
∴AD=
∵点D、E分别是边BC、AC的中点,
∴DE==2,
∴AE=AD-DE=8-2=6,
由
(2),可得
∴BD=.
综上所述,BD的长为或.
【解析】【解答】
(1)①当α=0°
时,
∵Rt△ABC中,∠B=90,°
Rt△ABC中,根据勾股定理算出AC的长,根据中点的定义得
②如图1,当α=180°
时,根据平行线分线段成比例定理得
出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。
(2)当0°
时,AE∶BD的大小没有变化,由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB,进
而得出∠ECA=∠DCB,又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例,及夹角相等的三
角形相似得出△ECA∽△DCB,根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;
3.3)①如图3,在Rt△ADC中,根据勾股定理得出AD的长,根据两组对边分别相等,且
有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形,根据矩形对角线相等得出
BD=AC=;
②如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线
交AC于点P,在Rt△ADC中,利用勾股定理得出AD的长,根据中点的定义得出DE的
长,根据AE=AD-DE算出AE的长,由
(2),可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。
4.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC=4,D是BC上一个动点,连接AD,以AD为
边向右侧作等腰直角△ADE,其中∠ADE=9°
0.
求证:
1)如图2,G,H分别是边AB,BC的中点,连接DG,AH,EH.
△AGD∽△AHE;
(2)如图3,连接BE,直接写出当BD为何值时,△ABE是等腰三角形;
(3)在点D从点B向点C运动过程中,求△ABE周长的最小值.
【答案】
(1)证明:
如图2,由题意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠B=∠DAE=45.°
∵H为BC中点,
∴AH⊥BC.
∴∠BAH=45=°
∠DAE.
∴∠GAD=∠HAE.
在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中,
AH=AB=AG,AE=AD.
∴△AGD∽△AHE;
分三种情况:
①当B与D重合时,即BD=0,如图3,此时AB=BE;
②当AB=AE时,如图4,此时E与C重合,
∴BD=BC=2;
③当AB=BE时,如图5,过E作EH⊥AB于H,交BC于M,连接AM,过E作EG⊥BC于
G,连接DH,
∵AE=BE,EH⊥AB,
∴AH=BH,
∴AM=BM,
∵∠ABC=45,°
∴AM⊥BC,△BMH是等腰直角三角形,
∵AD=DE,∠ADE=90,°
易得△ADM≌△DEG,
∴DM=EG,
∵∠EMG=∠BMH=45°
∴△EMG是等腰直角三角形,
∴ME=MG,
由
(1)得:
△AHD∽△AME,且,
∴∠AHD=∠AME=135,°
ME=DH,
∴∠BHD=45,°
MG=DH,
∴△BDH是等腰直角三角形,
∴BD=DH=EG=DM=;
综上所述,当BD=0或或2时,△ABE是等腰三角形;
当点D与点B重合时,点E的位置记为点M,连接CM,如图6,
此时,∠ABM=∠BAC=9°
0,∠AMB=∠BAM=4°
5,BM=AB=AC.
∴四边形ABMC是正方形.
∴∠BMC=90°
∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°
∵∠BAM=∠DAE=45,°
∴∠BAD=∠MAE,
在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中,
AM=AB,AE=AD.
∴.
∴△ABD∽△AME.
∴∠AME=∠ABD=45°
∴点E在射线MC上,
作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E′,
∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=,BE′+AE′
∴△ABE就是所求周长最小的′△ABE.
在Rt△ABN中,
∵AB=4,BN=2BM=2AB=8,
∴AN=.
∴△ABE周长最小值为AB+AN=4+4.
(1)由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAE=∠BAH=4°
5,所以
∠GAD=∠HAE,计算可得比例式:
,根据有两对边对应相等,且它们的夹角也相等
的两个三角形相似可得△AGD∽△AHE;
(2)根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论:
①当B与D重合时,即BD=0,此时
AB=BE;
②当AB=AE时,此时E与C重合,用勾股定理可求得BD的值;
③当AB=BE时,过E作EH⊥AB于H,交BC于M,连接AM,过E作EG⊥BC于G,连接
DH,由已知条件和
(1)的结论可求解;
(3)当点D与点B重合时,点E的位置记为点M,连接CM,作点B关于直线MC的对称
点N,连接AN交MC于点E′,由已知条件易证四边形ABMC是正方形,由已知条件通过计
算易得比例式:
根据有两对边对应相等,且它们的夹角也相等的两个三角形相似
可得△ABD∽△AME,则∠AME=∠ABD=4°
5,于是可得点E在射线MC上,根据轴对称的性
质可得△ABE′就是所求周长最小的△ABE,在Rt△ABN中,用勾股定理即可求得AN的值,
则△ABE周长最小值=AB+AN即可求解。
5.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P
是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线PQ,过点A作AQ⊥PQ于点Q,连接AP.
C的坐标
2)点P在抛物线上运动,若△AQP∽△AOC,求点P的坐标.
(1)y=﹣x2+3x+4;
(-1,0)
∵点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(-1,0),∴
∵点P的横坐标为m,∴P(m,﹣m2+3m+4).
①当点P在直线AQ下方时,QP=4-(﹣m2+3m+4)=m2-3m,
(舍去)或
时,﹣m2+3m+4=,此时点P的坐标为(
②当点P在直线AQ上方时,PQ=﹣m2+3m+4-4=﹣m2+3m,
由△AQP∽△AOC得:
,即:
∴=0(舍去)或=,此时P点坐标为().
综上所述:
点P的坐标为()或().
【解析】【解答】解:
(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点
B(4,0),
∴,解得:
,∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+3x+4.
令y=0,得:
﹣x2+3x+4=0,解得:
x=4或x=-1,∴点C的坐标为(-1,0).
【分析】
(1)根据题意,将A,B两点的坐标代入到解析式中,分别求出b,c,可以求出
抛物线的解析式;
(2)C为x轴上的交点,令y=0,通过解一元二次方程,解得C点坐标。
AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
1)当点P在线段AB上时,求证:
△APQ∽△ABC;
2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
【答案】
(1))证明:
∵∠A+∠APQ=9°
0,∠A+∠C=90°
,∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中,∵∠APQ=∠C,∠A=∠A,
△APQ∽△ABC.
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:
AC=5.
∠BPQ为钝角,∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ.
I)当点P在线段AB上时,如题图1所示,
1)可知,△APQ∽△ABC,
,即,解得:
.
(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示,
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90,°
∠A+∠P=90,°
∴∠AQB=∠A。
∴BQ=AB。
∴AB=BP,点B为线段AB中点。
∴AP=2AB=2×
3=6.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或6.
(1)由两对角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),证明△APQ∽△ABC。
(2)当△PQB为等腰三角形时,有两种情况,需要分类讨论.(I)当点P在线段AB上
时,如题图1所示.由三角形相似(△APQ∽△ABC)关系计算AP的长;
(II)当点P在线
段AB的延长线上时,如题图2所示.利用角之间的关系,证明点B为线段AP的中点,从
而可以求出AP.
7.在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动,△ABC是边长为2的等边三角形,E
是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,
请你找出来,并证明;
(2)当点E在线段AC上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为,求AE
的长;
(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面
积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系,并说明理由;
(4)如图2,当△ECD的面积S1=时,求AE的长.
现点E沿边AC从点A向点C运动过程中,始终有△ABE?
△CBF.
由图1知,△ABC与△EBF都是等边三角形,∴AB=CB,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°
∴∠CBF=∠ABE=60-∠°
CBE,∴△ABE?
由
(1)知点E在运动过程中始终有△ABE?
△CBF,
因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和,
∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积,因△ABC的边长为2,则
四边形BECF的面积为,又四边形ABFC的面积是,
,在三角形ABE中,因∠A=60,°
∴边AB上的高为AEsin60,
(3)解:
由图2知,△ABC与△EBF都是等边三角形,∴AB=CB,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°
又∠CBF=∠ABE=60°
+∠CBE,∴△ABE?
∴,∴,
则,则
(4)解:
由(3)知,即,
,∵△ABE?
∴AE=CF,∠BAE=∠BCF=60,°
又∠BAE=∠ABC=6°
0,得∠ABC=∠BCF,∴CF∥AB,则△BDF的边CF上的高与△ABC的高
相等,即为,
则DF=,设CE=x,则2+x=CD+DF=CD+,∴CD=x-,
化简得,∴x=1或x=-(舍),
即CE=1,∴AE=3.
(1)不难发现△ABE?
△CBF,由等边三角形的性质得到相应的条件,根
据“SAS判定”三角形全等;
(2)由
(1)可得△ABE?
△CBF,则,则四边形
ABFC==,由四边形ABFC的
面积为和等边三角形ABC的边长为2,可求得△ABE的面积,由底AB×
AEsin60,构造°
方程可解出AE.(3)当E在AC的延长线上时,△ABE?
△CBF依然成立,则
,即由等量关系即可得答案.
(4)由(3)可求出△FBD的面积,由△ABE?
△CBF,则AE=CF,
∠BAE=∠BCF=60=°
∠ABC,则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高,则可求
出DF的长度;
由AE=CF,可设CE=x,且CD//AB可得,代入相关值解出x即可.
8.如图,已知抛物线过点A和B,过点A
作直线AC//x轴,交y轴与点C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D,连接OA,使得以A,
D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出对应点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存
在,请说明理由。
∵点A、B在抛物线上,
抛物线解析式为:
y=x2-x.
(2)当P在直线AD上方时,
设P坐标为(x,),则有AD=x-,
整理得:
3x2-9x+18=2x-6,即3x2-11x+24=0,
解得:
x=
即x=或x=(舍去),
此时P();
当△OCA∽△PDA时,,即,
,即x2-
,即x=4或(舍去),
此时P(4,6);
当点P(0,0)时,也满足△OCA∽△PDA;
当P在直线AD下方时,同理可得,P的坐标为(),
综上,P的坐标为()或(4,6)或()或(0,0)
∵A,
∴AC=,OC=3,
∴OA=2,
∴=O·
C·
AC=O·
A·
h=,
∴h=,
又∵=,
∴△AOQ边OA上的高=3h=,
过O作OM⊥OA,截取OM=,过点M作MN∥OA交y轴于点N,过M作HM⊥x轴,(如
图),
AC=,OA=2,
∴∠AOC==30,°
又∵MN∥OA,
∴∠MNO=∠AOC=30,°
OM⊥MN,
∴ON=2OM=9,∠NOM=60°
即N(0,9),
∴∠MOB=30°
∴MH=OM=,
∴OH==,
∴M(,),
设直线MN解析式为:
y=kx+b,
∴直线MN解析式为:
y=-x+9,
∴x-x-18=0,
(x-3)(x+2)=0,
∴x=3,x=-2,
∴或,
∴Q点坐标(3,0)或(-2,15),
∴抛物线上是否存在点Q,使得.
(1)将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程
组,解之即可得抛物线解析式.
(2)设P坐标为(x,),表示出AD与PD,由相似分两种情况得比例求出x
的值,即可确定出P坐标。
(3)根据点A坐标得AC=,OC=3,由勾股定理得OA=2,根据三角形面积公式可得
△AOC边OA上的高h=,又=得△AOQ边OA上的高为;
过O作
OM⊥OA,截取OM=,过点M作MN∥OA交y轴于点N,过M作HM⊥x轴,(如图),
根据直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半,从而求出N(
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