第五讲 一笔画问题Word格式.docx

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（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！

小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？

小明进一步又提出了如下问题：

　　如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？

　　能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？

　　先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.

　　首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；

有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.

　　其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）

（1）两个点，一条线.

　　每个点都只与一条线相连.

（2）三个点.

　　两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.

　　第一组的两个图都能一笔画出来.

　　（但注意第

（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）

（1）五个点，五条线.

　　A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.

（2）六个点，七条线.（“日”字图）

　　A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.

　　第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.

　　第三组（见下图）

（1）四个点，三条线.

　　三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.

（2）四个点，六条线.

　　每个点都与三条线相连.

　　（3）五个点，八条线.

　　点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.

　　第三组的三个图形都不能一笔画出来.

　　第四组（见下图）

（1）这个图通常叫五角星.

　　五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.

（2）由一个圆及一个内接三角形构成.

　　三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.

　　（3）一个正方形和一个内切圆构成.

　　正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.

　　（四条线是两条线段和两条弧线）.

　　第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）

（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.

（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.

　　第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.

　　进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：

　　把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；

把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.

　　提出猜想：

一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：

　　从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：

　　①不连通的图形必定不能一笔画；

能够一笔画成的图形必定是连通图形.

　　②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.

　　③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；

　　④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：

　　有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.

　　能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.

　　用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.

　　看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

　　从画图的过程来看：

笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：

　　①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.

　　②再看起点和终点，可分为两种情况：

如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；

如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.

习题五

　　1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：

　　①与一条线相连的有哪些点？

　　②与二条线相连的有哪些点？

　　③与三条线相连的有哪些点？

　　④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？

　　2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回答：

　　①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？

　　②有2个奇点的图形有哪些？

　　③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？

　　④连通图形有哪些？

不连通图形有哪些？

　　3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答：

　　①哪些图形能够一笔画成？

　　②哪些图形不能一笔画成？

　　4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答：

　　①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；

而不是连通图形必定不能一笔画出.这句话说得对吗？

　　②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？

　　③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？

　　④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来.这句话对吗？

　　5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律.