二次函数专题训练三角形周长最值问题含答案文档格式.docx
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若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
8.如图,抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴与点D,已知点C(0,),连接AC.
(1)求直线AC的解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴,交直线AC于点E,过点P作PG⊥AC,垂足为G,当△PEG周长最大时,在x轴上存在一点Q,使|QP﹣QC|的值最大,请求出这个最大值以及点P的坐标;
(3)当
(2)题中|QP﹣QG|取得最大值时,直线PG交y轴于点M,把抛物线沿直线AD平移,平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′,在平移的过程中,是否存在点A′,使得点A′,P,M三点构成的三角形为等腰三角形,若存在,直接写出点A′的坐标;
9.如图,抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点,点A在点B的左侧,交y轴于点C.
(1)求直线AC与直线BC的解析式;
(2)如图1,P为直线BC上方抛物线上的一点;
①过点P作PD⊥BC于点D,作PM∥y轴交直线BC于点M,当△PDM的周长最大时,求P点坐标及周长最大值;
②在①的条件下,连接AP与y轴交于点E,抛物线的对称轴与x轴交于点K,若S为直线BC上一动点,T为直线AC上一动点,连接EK,KS,ST,TE,求四边形EKST周长的最小值;
(3)如图2,将△AOC顺时针旋转60°
得到△A′OC′,将△A′OC′沿直线OC′平移,记平移中的△A′OC′为△A″O′C″,直线A″O′与x轴交于点F,将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′,当△CC″F′为等腰三角形时,求此时F点的坐标.
参考答案与试题解析
1.如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
【解答】解:
(1)把A(﹣1,0),B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3,
得到,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)如图1中,连接PB、PC.设P(m,m2﹣2m﹣3),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴OB=OC,
∴∠OBC=45°
,
∵PF∥OB,
∴∠PFE=∠OBC=45°
∵PE⊥BC,
∴∠PEF=90°
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴PE最大时,△PEF的面积中点,此时△PBC的面积最大,
则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•(﹣m2+2m+3)+•3•m﹣=﹣(m﹣)2+,
∴m=时,△PBC的面积最大,此时△PEF的面积也最大,
此时P(,﹣),
∵直线BC的解析式为y=x﹣3,
∴F(﹣,﹣),
∴PF=,
∵△PEF是等腰直角三角形,
∴EF=EP=,
∴C△PEF最大值=+.
(3)①如图2中,
当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P(2,﹣3).点P横坐标为2,
②如图3中,当四边形PMQN是正方形时,作PF⊥y轴于N,ME∥x轴,PE∥y轴.
易知△PFN≌△PEM,
∴PF=PE,设P(m,m2﹣2m﹣3),
∵M(1,﹣4),
∴m=m2﹣2m﹣3﹣(﹣4),
∴m=或(舍弃),
∴P点横坐标为
所以满足条件的点P的横坐标为2或.
(1)令﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),C(0,3),
∵点D,C关于抛物线的对称轴对称,
∴D(2,3),
∴直线AD的解析式为:
y=x+1;
(2)设点F(x,﹣x2+2x+3),
∵FH∥x轴,
∴H(﹣x2+2x+2,﹣x2+2x+3),
∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣(x﹣)2+,
∴FH的最大值为,
由直线AD的解析式为:
y=x+1可知∠DAB=45°
∵FH∥AB,
∴∠FHG=∠DAB=45°
∴FG=GH=×
=
故△FGH周长的最大值为×
2+=;
(3)①当P点在AM下方时,如图1,
设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),
∵△PMQ′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的,
∴PQ′必过AM中点N(0,2),
∴可知Q′在y轴上,
易知QQ′的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,
故T(1,4),从而T、M重合,
∴▱APQM是矩形,
∵易得直线AM解析式为:
y=2x+2,
∵MQ⊥AM,
∴直线QQ′:
y=﹣x+,
∴4+p=﹣×
2+,
解得:
p=﹣,
∴PN=,
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×
×
PN×
AO=4×
1=5;
②当P点在AM上方时,如图2,
∴PQ′必过QM中点R(,4+),易得直线QQ′:
y=﹣x+p+5,
联立,解得:
x=,y=,
∴H(,),∵H为QQ′中点,
故易得Q′(,),
由P(0,p)、R(,4+)易得直线PR解析式为:
y=(﹣)x+p,
将Q′(,)代入到y=(﹣)x+p得:
=(﹣)×
+p,
整理得:
p2﹣9p+14=0,
解得p1=7,p2=2(与AM中点N重合,舍去),
∴P(0,7),
∴PN=5,
∴S□APQM=2S△AMP=2×
|xM﹣xA|=2×
5×
2=10.
综上所述,▱APQM面积为5或10.
(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),
∴OA=1.
又∵tan∠ACO=,
∴OC=4.
∴C(0,﹣4).
∵OC=OB,
∴OB=4
∴B(4,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4).
∵将x=0,y=﹣4代入得:
﹣4a=﹣4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4.
(2)∵抛物线的对称轴为x=﹣=,C(0,﹣4),点D和点C关于抛物线的对称轴对称,
∴D(3,﹣4).
设直线AD的解析式为y=kx+b.
∵将A(﹣1,0)、D(3,﹣4)代入得:
,解得k=﹣1,b=﹣1,
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1.
∵直线AD的一次项系数k=﹣1,
∴∠BAD=45°
.
∵PM平行于y轴,
∴∠AEP=90°
∴∠PMH=∠AME=45°
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=(1+)PM.
设P(a,a2﹣3a﹣4),M(﹣a﹣1),则PM=﹣a﹣1﹣(a2﹣3a﹣4)=﹣a2+2a+3,
∵PM=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4,
∴当a=1时,PM有最大值,最大值为4.
∴△MPH的周长的最大值=4×
(1+)=4+4.
(3)如图1所示;
当∠EGN=90°
设点G的坐标为(a,0),则N(a,a2﹣3a﹣4).
∵∠EGN=∠AOC=90°
∴时,△AOC∽△EGN.
∴=,整理得:
a2+a﹣8=0.
a=(负值已舍去).
∴点G的坐标为(,0).
如图2所示:
∴时,△AOC∽△NGE.
∴=4,整理得:
4a2﹣11a﹣17=0.
∵EN在EP的右面,
∴∠NEG<90°
如图3所示:
当∠ENG′=90°
时,
EG′=EG×
=(﹣1)×
=.
∴点G′的横坐标=.
∵≈4.03>4,
∴点G′不在EG上.
故此种情况不成立.
综上所述,点G的坐标为(,0)或(,0).
(1)在Rt△AOC中,tan∠AOC==3,且OC=3,
∴OA=1,则A(﹣1,0),
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
则点A(﹣1,0)关于直线x=1的对称点B的坐标为(3,0),
设抛物线的表达式为y=a(x﹣3)(x+1),
将点C(0,﹣3)代入上式得﹣3a=﹣3,
a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣3)(x+1)=x2﹣2x﹣3;
(2)∵点B(3,0)、C(0,﹣3),
则BC=3,
∴S△BCD=×
3×
=3,
设D(x,x2﹣2x﹣3),连接OD,
∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC
=•3•x+•3•(﹣x2+2x+3)﹣×
3
==3,
解得x=1或x=2,
则点D的坐标为(1,﹣4)或(2,﹣3);
(3)设直线AE解析式为y=kx+b,
将点A(﹣1,0)、E(0,﹣)代入得:
则直线AE解析式为y=﹣x﹣,
AE==,
设P(t,t2﹣2t﹣3),则M(t,﹣t﹣),
∴PM=﹣t﹣﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+t+,
作PG⊥MN于G,由PM=PN得MG=NG=MN,
由△PMG∽△AEO得=,即=,
∴MG=PM=NG,
∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=(﹣t2+t+)=﹣t2++6=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,C△PMN取得最大值,此时P(,﹣).
(1)直线y=﹣x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C点(0,2),
设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
把A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)的坐标代入,
∴a=﹣1,b=1,c=2,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2,
(2)设D(x,﹣x2+x+2),F(x,﹣x+2),
∴DF=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,
所以x=1时,DF最大=1,
∵OB=OC,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∵DE⊥BC,DF∥y轴,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴△DEF周长的最大值为1+
(3)如图,
当△DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,
则DB=,DH=2,OH=1
当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,
∴,
∴DP=,
∴=,
∴PM=,DM=,
∴P点的横坐标为OH+PM=1+=,
P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=,
∴P(,).
(1)把C(0,3)代入y=﹣x2+(m﹣1)x+m得m=3,
y=﹣x2+2x+3,
(2)令y=﹣x2+2x+3=0,解得:
x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称,
∴D(1,2),AD的解析式y=x+1,设AD与y轴交于E,
∴OA=OE=1,
∴∠EAO=45°
∴∠FHA=∠EAO=45°
∵FG⊥AH,
∴△FGH是等腰直角三角形,
设点F坐标(m,﹣m2+2m+3),
∴点H坐标(﹣m2+2m+2,﹣m2+2m+3),
∴FH=﹣m2+m+2,
∴△FGH的周长=(﹣m2+m+2)+2×
(﹣m2+m+2)=﹣(1+)(m﹣)2+
∴△FGH的周长最大值为;
(3)∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为(1,4),
∴直线AM的解析式为y=2x+2,
∵直线l垂直于直线AM,
∴设直线l的解析式为y=﹣x+b,
∵与坐标轴交于P、Q两点,
∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P(0,b),与x轴的交点Q(2b,0),
设R(1,a),
∴PR2=(﹣1)2+(a﹣b)2,QR2=(2b﹣1)2+a2,PQ2=b2+(2b)2=5b2,
∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,
∴PR2=QR2,即(﹣1)2+(a﹣b)2=QR2=(2b﹣1)2+a2,
∴﹣2a=3b﹣4,①
∴PR2+QR2=PQ2,
即(﹣1)2+(a﹣b)2+(2b﹣1)2+a2=5b2,
∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0,②
联立①②解得:
,,
∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2.
(1)将x=0代入得y=3,
∴C(0,3).
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1,C(0,3),
∴D(2,3).
把y=0代入抛物线的解析式得:
0=﹣x2+2x+3,解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0).
设直线AD的解析式为y=kx+b,将点A和点D的坐标代入得:
,解得:
k=1,b=1,
∴直线AD的解析式为y=x+1.
(2)如图1所示:
∵直线AD的解析式为y=x+1,
∴∠DAB=45°
∵EF∥x轴,EG∥y轴,
∴∠GEF=90°
,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周长=EF+FG+EG=(2+)EG.
依题意,设E(t,﹣t2+2t+3),则G(t,t+1).
∴EG=﹣t2+2t+3﹣(t+1)=﹣(t﹣)2+.
∴EG的最大值为.
∴△EFG的周长的最大值为+.
(3)存在.
①以AD为平行四边形的边时,PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D两点间的水平距离为3,
∴P,Q两点间的水平距离也为3.
∴点Q的横坐标为3或﹣3.
将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12.
∴Q(3,0)或(﹣3,﹣12).
②当AD为平行四边形的对角线时,设AD的中点为M,
∵A(﹣1,0),D(2,3),M为AD的中点,
∴M(,).
设点Q的横坐标为x,则=,解得x=1,
∴点Q的横坐标为1.
将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4.
∴这时点Q的坐标为(1,4).
综上所述,当点Q的坐标为Q(3,0)或(﹣3,﹣12)或(1,4)时,以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
(1)令y=0则,﹣x2﹣x+3=0,解得x=﹣3或x=2,
∴A(﹣3,0),B(2,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A和点C的坐标代入得:
k=,b=,
∴直线AC的解析式为y=x+.
(2)延长PE交OA与点F,则PF⊥OA.
∵PF⊥OA,PG⊥AC,
∴∠EFA=∠PGE.
又∵∠PEG=∠FEA,
∴∠EAF=∠EPG.
∵OC=,AO=3,
∴tan∠GPE=tan∠EAF=.
∴sin∠GPE=,cos∠GPE=.
∴PG=PE,EG=EP.
∴△PEG的周长=PE+PG+EG=(1+)PE.
∴当PE取得最大值时,△PEC的周长最大.
设点P的坐标为(t,﹣t2﹣t+3),则点E的坐标为(t,
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