多面体外接球半径常见的求法.doc

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多面体外接球半径常见求法

知识回顾：

定义1：

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：

构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、公式法

例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.

小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、多面体几何性质法

例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.B.C.D.

小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

三、补形法

例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.

变式1：

变式2：

三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

四、寻求轴截面圆半径法

例4正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，都在同一球面上，则此球的体积为.

小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

变式1：

求棱长为a的正四面体P–ABC的外接球的表面积

变式2：

正三棱锥的高为1，底面边长为。

求棱锥的内切球的表面积。

变式1：

底面边长为的正三棱柱外接球的体积为，则该三棱柱的体积为

五、确定球心位置法

例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

A.B.C.D.

变式1：

三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）

A． B． C．D．

1.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD.，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（I）求点P到平面ABCD的距离，

（II）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.