圆锥曲线第二定义.doc
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圆锥曲线第二定义解题例说
圆锥曲线的第二定义出现在例题中,教材中没有专门举例说明其应用,有很多同学对其认识不足,为此本文举例说明第二定义的应用。
一、求焦点弦长
例1过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A()、B(),若,求|AB|的长。
解:
设AB的中点为E,点A、E、B在抛物线准线l:
上的射影分别为G、H、M。
由第二定义知:
。
二、求离心率
例2设椭圆=1(a>b>0)的右焦点为,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦的长度等于F1到准线l1的距离,求椭圆的离心率。
解:
如图,AB是过F1垂直于x轴的弦,为F1到准线l1的距离,AD⊥l1于D,则|AD|=|F1C|,由题意知。
由椭圆的第二定义知:
三、求点的坐标
例3双曲线的右支上一点P,到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2:
1,求点P的坐标。
解:
设点P()(),双曲线的左准线为l1:
,右准线为l2:
,则点P到l1、l2的距离分别为。
所以,,解得。
将其代入原方程,得。
因此,点P的坐标为。
四、求离心率的范围
例4已知椭圆,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,求椭圆的离心率e的取值范围。
解:
设点P(),则由第二定义得,。
因为为直角三角形,所以。
即
解得,由椭圆方程中x的范围知。
,解得。
五、求最值
例5已知点A(),设点F为椭圆的右焦点,点M为椭圆上一动点,求的最小值,并求此时点M的坐标。
解:
如图,过点A作右准线l的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M。
∵椭圆的离心率
∴由第二定义得
∴的最小值为|AN|的长,且
∴的最小值为10,此时点M的坐标为(,)
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